Что делает этот конвертер
Инструмент переводит точку, заданную в трёхмерных сферических координатах, в привычные декартовы координаты (x, y, z). Вы вводите радиальное расстояние r, азимутальный угол theta (откладывается в плоскости x-y) и полярный угол phi (откладывается от положительной оси z), а конвертер возвращает соответствующее положение в прямоугольной системе.
Какое соглашение об углах используется
В разных учебниках названия двух углов могут отличаться. В этом калькуляторе принято соглашение, при котором theta — это азимут (поворот в плоскости x-y), а phi — полярный угол (наклон от оси +z). Если в вашем источнике эти обозначения поменяны местами, просто поменяйте местами вводимые значения — и формулы сойдутся.
Как пользоваться
Введите r, theta и phi, затем выберите, в чём заданы углы: в градусах (по умолчанию) или радианах. Перед применением тригонометрических функций конвертер переводит углы в радианы (умножает на \(\pi/180\) для градусов), после чего выводит x, y и z примерно с десятью значащими цифрами.
Разбор формулы
Точка лежит на сфере радиуса \(r\). Полярный угол \(\phi\) задаёт, насколько точка отклонена от вертикальной оси: \(z = r\cdot\cos\phi\). Длина горизонтальной проекции равна \(r\cdot\sin\phi\), а азимут \(\theta\) распределяет эту проекцию между осями x и y, давая
$$x = r\,\sin\phi\,\cos\theta,\quad y = r\,\sin\phi\,\sin\theta,\quad z = r\,\cos\phi$$где
$$\left\{\begin{aligned} r &= \text{r (radial)} \\ \theta &= \frac{\pi}{180}\cdot\text{theta (deg)} \\ \phi &= \frac{\pi}{180}\cdot\text{phi (deg)} \end{aligned}\right.$$
Пример с расчётом
Возьмём \(r = 5\), \(\theta = 60\) градусов, \(\phi = 30\) градусов. Тогда \(\sin\phi = 0{,}5\), \(\cos\phi = 0{,}8660254\), \(\cos\theta = 0{,}5\), \(\sin\theta = 0{,}8660254\). Получаем
$$x = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}25$$$$y = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}8660254 = 2{,}16506351$$$$z = 5 \times 0{,}8660254 = 4{,}33012702$$Декартова точка — (1,25, 2,16506351, 4,33012702).
Частые вопросы
Что будет, если r = 0? Точка находится в начале координат (0, 0, 0) при любых углах.
Могут ли углы быть отрицательными или больше 360? Да. Тригонометрические функции периодичны, поэтому любое вещественное значение угла допустимо и обрабатывается корректно.
Что означает phi = 0? Точка лежит на положительной оси z: \(x = y = 0\), а \(z = r\). При \(\phi = 180\) градусов точка оказывается на отрицательной оси z (\(z = -r\)).
