À quoi sert ce convertisseur
Cet outil transforme un point décrit en coordonnées sphériques 3D en coordonnées cartésiennes classiques (x, y, z). Vous indiquez la distance radiale r, l'angle azimutal theta (mesuré dans le plan x-y) et l'angle polaire phi (mesuré à partir de l'axe z positif), et il renvoie la position rectangulaire équivalente.
Convention angulaire utilisée
La façon de nommer les deux angles varie d'un ouvrage à l'autre. Ce calculateur adopte la convention où theta désigne l'azimut (rotation dans le plan x-y) et phi l'angle polaire (inclinaison par rapport à l'axe +z). Si votre source intervertit ces noms, il vous suffit d'échanger les valeurs saisies pour que les calculs restent cohérents.
Mode d'emploi
Saisissez r, theta et phi, puis choisissez si vos angles sont exprimés en degrés (option par défaut) ou en radians. Le convertisseur convertit les angles en radians en interne (multiplication par \(\pi/180\) pour les degrés) avant d'appliquer les fonctions trigonométriques, puis affiche x, y et z avec une dizaine de chiffres significatifs.
La formule expliquée
Le point se trouve sur une sphère de rayon r. L'angle polaire phi détermine l'inclinaison du point par rapport à l'axe vertical : \(z = r\cdot\cos\phi\). La projection horizontale a pour longueur \(r\cdot\sin\phi\), et l'azimut theta répartit cette projection entre les axes x et y, d'où :
$$x = r\,\sin\phi\,\cos\theta,\quad y = r\,\sin\phi\,\sin\theta,\quad z = r\,\cos\phi$$où
$$\left\{ \begin{aligned} r &= \text{r (radial)} \\ \theta &= \frac{\pi}{180}\cdot\text{theta (deg)} \\ \phi &= \frac{\pi}{180}\cdot\text{phi (deg)} \end{aligned} \right.$$
Exemple résolu
Prenons \(r = 5\), \(\theta = 60\) degrés et \(\phi = 30\) degrés. On a alors \(\sin\phi = 0{,}5\), \(\cos\phi = 0{,}8660254\), \(\cos\theta = 0{,}5\) et \(\sin\theta = 0{,}8660254\). Donc
$$x = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}25$$$$y = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}8660254 = 2{,}16506351$$$$z = 5 \times 0{,}8660254 = 4{,}33012702$$Le point cartésien est (1,25 ; 2,16506351 ; 4,33012702).
FAQ
Que se passe-t-il si r = 0 ? Le point se situe à l'origine (0, 0, 0), quels que soient les angles.
Les angles peuvent-ils être négatifs ou dépasser 360 ? Oui. Les fonctions trigonométriques sont périodiques : tout angle réel est valide et correctement pris en compte.
Que signifie phi = 0 ? Le point se trouve sur l'axe z positif : \(x = y = 0\) et \(z = r\). Un phi de 180 degrés le place sur l'axe z négatif (\(z = -r\)).
