Calculateur des nœuds et poids de la quadrature de Gauss-Legendre

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Chiffres affichés 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Résultats

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

2

somme des poids (doit valoir 2)

i	Nœud x_i	Poids w_i
1	-0,993128599185095	0,017614007139152
2	-0,963971927277914	0,040601429800387
3	-0,912234428251326	0,062672048334109
4	-0,839116971822219	0,083276741576705
5	-0,746331906460151	0,10193011981724
6	-0,636053680726515	0,118194531961518
7	-0,510867001950827	0,131688638449176
8	-0,37370608871542	0,142096109318382
9	-0,227785851141645	0,149172986472604
10	-0,076526521133497	0,152753387130726
11	0,076526521133497	0,152753387130726
12	0,227785851141645	0,149172986472604
13	0,37370608871542	0,142096109318382
14	0,510867001950827	0,131688638449176
15	0,636053680726515	0,118194531961518
16	0,746331906460151	0,10193011981724
17	0,839116971822219	0,083276741576705
18	0,912234428251326	0,062672048334109
19	0,963971927277914	0,040601429800387
20	0,993128599185095	0,017614007139152

Qu'est-ce que le calculateur de quadrature de Gauss-Legendre ?

Cet outil calcule les nœuds (abscisses) et les poids de la quadrature de Gauss-Legendre à n points sur l'intervalle de référence [-1, 1]. La quadrature de Gauss-Legendre est une méthode d'intégration numérique qui approche une intégrale définie par une somme pondérée de valeurs de la fonction : l'intégrale de \(f(x)\) entre -1 et 1 vaut approximativement la somme, pour tout \(i\), des \(w_i\) multipliés par \(f(x_i)\). Avec seulement \(n\) points, elle intègre exactement tout polynôme jusqu'au degré \(2n-1\), ce qui la rend bien plus précise que les méthodes à points équidistants comme la règle des trapèzes ou celle de Simpson.

Comment l'utiliser

Choisissez l'ordre \(n\) (le nombre de points, de 2 à 100) et, si vous le souhaitez, le nombre de chiffres significatifs à afficher. Le calculateur renvoie un tableau de \(n\) lignes, chacune indiquant un nœud \(x_i\) et son poids \(w_i\). Les nœuds sont symétriques par rapport à 0 et appartiennent tous strictement à l'intervalle ouvert (-1, 1) ; les poids sont tous positifs et leur somme vaut exactement 2, soit la longueur de l'intervalle. Pour intégrer sur un intervalle quelconque \([a, b]\), transformez chaque nœud avec \(t_i = \frac{b-a}{2} \times x_i + \frac{a+b}{2}\) et multipliez chaque poids par \(\frac{b-a}{2}\).

La formule expliquée

Les nœuds sont les \(n\) racines du polynôme de Legendre \(P_n(x)\), construit grâce à la récurrence de Bonnet : \(P_0 = 1\), \(P_1 = x\), et $$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}.$$ Chaque poids vaut $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}},$$ où la dérivée est $$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^{2} - 1}.$$ Les racines sont obtenues par la méthode de Newton initialisée à \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0{,}25)}{n + 0{,}5}\right)\), qui converge en quelques itérations.

La quadrature de Gauss-Legendre approxime l'intégrale par une somme pondérée des valeurs de la fonction en des nœuds spécialement choisis.

Exemple résolu (n = 3)

Les racines de \(P_3\) sont \(x = 0\) et \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0{,}7745966692\). Le poids en \(x = 0\) vaut \(\frac{8}{9} = 0{,}888888889\), et le poids en chaque \(x = \pm 0{,}7745966692\) vaut \(\frac{5}{9} = 0{,}555555556\). La somme des poids est $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2,$$ et cette règle à 3 points intègre exactement les polynômes jusqu'au degré 5.

La règle à 3 points utilise un nœud central et deux nœuds extérieurs symétriques, le nœud central recevant le plus grand poids.

Questions fréquentes

Pourquoi la somme des poids vaut-elle 2 ? L'intégrale de la fonction constante \(f(x) = 1\) sur [-1, 1] vaut 2, et la quadrature doit reproduire exactement les constantes : la somme des poids est donc forcément égale à la longueur de l'intervalle.

Quelle est la précision des valeurs ? Il s'agit d'un calcul en double précision offrant environ 15 chiffres significatifs. Les options d'affichage demandant davantage de chiffres sont arrondies à ce que la double précision peut représenter.

Quel est le degré maximal intégré exactement ? Une règle à \(n\) points est exacte pour tous les polynômes jusqu'au degré \(2n-1\).