Gauss-Legendre Kuadratür Düğüm ve Ağırlık Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Mertebe n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Görüntülenecek basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Sonuç

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

2

ağırlıkların toplamı (2 olmalı)

i	Düğüm x_i	Ağırlık w_i
1	-0,993128599185095	0,017614007139152
2	-0,963971927277914	0,040601429800387
3	-0,912234428251326	0,062672048334109
4	-0,839116971822219	0,083276741576705
5	-0,746331906460151	0,10193011981724
6	-0,636053680726515	0,118194531961518
7	-0,510867001950827	0,131688638449176
8	-0,37370608871542	0,142096109318382
9	-0,227785851141645	0,149172986472604
10	-0,076526521133497	0,152753387130726
11	0,076526521133497	0,152753387130726
12	0,227785851141645	0,149172986472604
13	0,37370608871542	0,142096109318382
14	0,510867001950827	0,131688638449176
15	0,636053680726515	0,118194531961518
16	0,746331906460151	0,10193011981724
17	0,839116971822219	0,083276741576705
18	0,912234428251326	0,062672048334109
19	0,963971927277914	0,040601429800387
20	0,993128599185095	0,017614007139152

Gauss-Legendre Kuadratür Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, referans aralığı olan [-1, 1] üzerinde n noktalı Gauss-Legendre kuadratür kuralının düğümlerini (apsisleri) ve ağırlıklarını hesaplar. Gauss-Legendre kuadratürü, belirli bir integrali fonksiyon değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak yaklaşık hesaplayan sayısal bir integral yöntemidir: f(x) fonksiyonunun -1'den 1'e integrali, yaklaşık olarak i üzerinden \(w_i\) çarpı \(f(x_i)\) toplamına eşittir. Yalnızca n nokta kullanarak \(2n-1\) dereceye kadar olan tüm polinomları tam olarak integre eder; bu da onu yamuk (trapez) ya da Simpson gibi eşit aralıklı kurallara kıyasla çok daha hassas kılar.

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$

Nasıl Kullanılır?

Mertebe n değerini (nokta sayısı, 2 ile 100 arası) seçin, isterseniz görüntülenecek anlamlı basamak sayısını da belirleyin. Hesaplayıcı, her satırında bir \(x_i\) düğümü ve buna karşılık gelen \(w_i\) ağırlığı bulunan n satırlık bir tablo döndürür. Düğümler 0 etrafında simetriktir ve tamamı (-1, 1) aralığının kesinlikle içinde yer alır; ağırlıkların tümü pozitiftir ve toplamları, aralığın uzunluğu olan tam olarak 2'ye eşittir. İntegrali herhangi bir [a, b] aralığı üzerinde almak için her düğümü \(t_i = \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2}\) dönüşümüyle eşleyin ve her ağırlığı \(\frac{b-a}{2}\) ile çarpın.

Formülün Açıklaması

Düğümler, Bonnet özyinelemesiyle oluşturulan \(P_n(x)\) Legendre polinomunun n köküdür: \(P_0=1\), \(P_1=x\) ve \(P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}\). Her ağırlık $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$ formülüyle bulunur; burada türev \(P_n^{\prime}(x) = \frac{n\,(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x))}{x^2 - 1}\) şeklindedir. Kökler, \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\) başlangıç değeriyle başlatılan Newton yöntemiyle bulunur ve bu yöntem birkaç yinelemede yakınsar.

Gauss-Legendre kuadratürü, integrali özel olarak seçilen düğümlerdeki fonksiyon değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak yaklaşıklar.

Çözümlü Örnek (n = 3)

\(P_3\)'ün kökleri \(x = 0\) ve \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\) değerleridir. \(x = 0\) noktasındaki ağırlık \(\frac{8}{9} = 0.888888889\), \(x = \pm 0.7745966692\) noktalarındaki ağırlık ise \(\frac{5}{9} = 0.555555556\)'dır. Ağırlıkların toplamı $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$ olur ve bu 3 noktalı kural, 5. dereceye kadar olan polinomları tam olarak integre eder.

3 noktalı kural, bir merkezi düğüm ve iki simetrik dış düğüm kullanır; en büyük ağırlık merkezi düğüme verilir.

Sıkça Sorulan Sorular

Ağırlıkların toplamı neden 2'dir? Sabit fonksiyon \(f(x) = 1\)'in [-1, 1] üzerindeki integrali 2'dir ve kuadratür kuralının sabitleri tam olarak üretmesi gerektiğinden ağırlıkların toplamı aralığın uzunluğuna eşit olmalıdır.

Değerler ne kadar hassas? Bu, yaklaşık 15 anlamlı basamak veren çift duyarlıklı (double precision) bir hesaplamadır. Daha fazla basamak isteyen görüntüleme seçenekleri, çift duyarlığın temsil edebildiği değere yuvarlanır.

Tam olarak integre edilen maksimum derece nedir? n noktalı bir kural, \(2n-1\) dereceye kadar olan tüm polinomlar için tamdır.