Bu araç ne işe yarar?
Bu hesaplayıcı, ağırlık fonksiyonu \(w(x) = 1\) olan referans [-1, 1] aralığında n noktalı Gauss-Lobatto kuadratür kuralının düğüm noktalarını (apsisleri) \(x_i\) ve ağırlıklarını \(w_i\) hesaplar. Standart Gauss-Legendre kuadratüründen farklı olarak Gauss-Lobatto kuralı, \(x = -1\) ve \(x = +1\) uç noktalarını her zaman kuadratür düğümü olmaya zorlar. Bu özellik, sınır değerlerinin önem taşıdığı durumlarda (örneğin spektral eleman yöntemlerinde) oldukça değerlidir. Tamamen sayısal analize dayanan bir araçtır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir; herhangi bir ülke ya da bölgeye özgü değildir.
Nasıl kullanılır?
Nokta sayısı n değerini (2 ile 100 arasında) seçin ve isterseniz bir görüntüleme hassasiyeti belirleyin. Hesaplayıcı, her satırında bir düğüm noktası \(x_i\) ile ona karşılık gelen ağırlık \(w_i\) yer alan n satırlık bir tablo döndürür. Düğüm noktaları 0 etrafında simetriktir, ağırlıklar da öyledir; dolayısıyla \(x_i\) ve \(-x_i\) aynı ağırlığı paylaşır. Yerleşik bir doğruluk kontrolü olarak, tüm ağırlıkların toplamı aralığın uzunluğu olan 2 değerine eşittir.
Formülün açıklaması
Bu kural, integrali $$w_1 f(x_1) + \cdots + w_n f(x_n)$$ toplamı olarak yaklaşık hesaplar ve \(2n-3\) dereceye kadar polinomlar için tam sonuç verir. İç düğüm noktaları \(x_2, \ldots, x_{n-1}\), \(n-1\) dereceli Legendre polinomunun türevi \(P_{n-1}'(x)\) fonksiyonunun \(n-2\) köküdür. Uç noktalar $$\frac{2}{n(n-1)}$$ ağırlığını alır; her bir iç düğüm noktası \(x_i\) ise $$\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}$$ ağırlığını alır. Hesaplayıcı, iç kökleri Chebyshev-Gauss-Lobatto başlangıç tahminleri \(\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)\) ile başlayan Newton iterasyonuyla bulur ve tam çift duyarlık (yaklaşık 15-16 anlamlı basamak) sağlar.
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Çözümlü örnek (n = 4)
İç düğüm noktaları $$P_3'(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0$$ denklemini sağlar; buradan \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\) bulunur. Uç nokta ağırlığı $$\frac{2}{4\cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667$$ olur. İç düğüm noktaları için \(P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\) olup karesi 0.2'dir; bu da $$\frac{2}{4\cdot 3\cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333$$ ağırlığını verir. Toplam \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\) olduğundan kural doğrulanmış olur.
Sık sorulan sorular
Gauss-Legendre'den farkı nedir? Gauss-Legendre tüm düğümleri kesinlikle (-1, 1) aralığının içine yerleştirir ve \(2n-1\) dereceye kadar tam sonuç verir. Gauss-Lobatto ise her iki uç noktayı da düğüm olarak sabitler ve \(2n-3\) dereceye kadar tam sonuç verir; yani sınır noktalarını dahil etmek için iki derecelik kesinlikten ödün verir.
Bunları genel bir [a, b] aralığında nasıl kullanırım? Her düğüm noktasını \(x \to \frac{b-a}{2} x + \frac{a+b}{2}\) dönüşümüyle eşleyin ve her ağırlığı \(\frac{b-a}{2}\) ile çarpın. Bu sayfa yalnızca [-1, 1] aralığına ait değerleri verir.
Ağırlıkların toplamı neden 2 olmak zorunda? \(f(x) = 1\) fonksiyonunun [-1, 1] aralığındaki integrali 2'dir ve kural sabitler için tam sonuç verdiğinden, ağırlıkların toplamı aralığın uzunluğuna eşit olmalıdır.
