Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Tanh-Sinh Kuadratür Düğüm ve Ağırlık Hesaplayıcı, standart [-1, 1] aralığında Tanh-Sinh (ya da çift üstel, DE) integral kuralının kullandığı düğüm noktalarını (apsisler) \(x_i\) ve bunlara karşılık gelen ağırlıkları \(w_i\) üretir. Bu çiftleri bir kez elde ettikten sonra herhangi bir belirli integrali basit bir ağırlıklı toplam olarak yaklaşık hesaplayabilirsiniz: f(x) fonksiyonunun [-1, 1] üzerindeki integrali, yaklaşık olarak \(w_i\) çarpı \(f(x_i)\) değerlerinin toplamına eşittir.
Yöntem ve formül
Tanh-Sinh kuadratürü, \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) değişken dönüşümünü uygular; bu dönüşüm, tüm reel t eksenini açık (-1, 1) aralığına taşır. Dönüştürülmüş integrand çift üstel hızla sönümlendiği için sıradan yamuk (trapez) kuralı şaşırtıcı derecede hızlı yakınsar. t değişkenini [-t_a, t_a] aralığına kısalttıktan ve \(h = 2\,t_a / (n - 1)\) adımıyla eşit aralıklı n nokta örnekledikten sonra, her nokta için aşağıdaki çiftler elde edilir:
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} t_i &= -t_a + (i-1)\,h, \quad i = 1,\dots,\text{Order }n \\ h &= \frac{2\,t_a}{\text{Order }n - 1} \\ t_a &= \mathrm{round}\!\left[\left(\text{Digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right] \end{aligned} \right.$$
Nasıl kullanılır?
n mertebesini (yamuk örnekleme noktalarının sayısı) seçin, \(t_a\) değerinin istediğiniz hassasiyetten otomatik olarak mı belirleneceğini yoksa elle mi gireceğinizi belirleyin ve kaç anlamlı basamak gösterileceğini seçin. Otomatik modda yarı genişlik \(t_a = \mathrm{round}\!\left[\left(\text{basamak sayısı} + 1\right)^{0.46},\,1\right]\) formülüyle hesaplanır; 22 basamak için bu, belgelenen varsayılan \(t_a = 4.2\) değerini verir. "Yarım" seçeneği \(x_{-i} = -x_i\), \(w_{-i} = w_i\) simetrisinden yararlanarak yalnızca negatif olmayan tarafı döndürür; "Tümü" seçeneği ise -1'e yakın değerden +1'e yakın değere kadar her düğümü listeler.
Çözümlü örnek
n = 3, elle \(t_a = 4\) ve "Tümü" seçili iken: \(h = 8 / 2 = 4\). Üç t değeri -4, 0 ve 4'tür. t = 0 için \(x = \tanh(0) = 0\) ve \(w = \tfrac{\pi}{2}\,h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853\) olur. \(t = \pm 4\) değerlerinde \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) ifadesi devasa büyüklüktedir; bu yüzden x değeri \(\pm 1\)'e doyar ve ağırlık taşma altı (underflow) ile pratik olarak 0'a iner. Uygun bir \(t_a\) ile daha büyük n seçildiğinde ağırlıkların toplamı yaklaşık 2'ye, yani f = 1 fonksiyonunun [-1, 1] üzerindeki tam integraline yaklaşır.
Sıkça sorulan sorular
Uçlardaki ağırlıklar neden neredeyse sıfır? Çift üstel sönümleme, \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\)'nin cosh karesini kenarlara doğru taşmaya zorlar; dolayısıyla bu ağırlıklar yok olur — kuralın bu denli isabetli olmasının nedeni tam da budur.
Buradaki "n mertebesi" ne anlama geliyor? Bu, [-t_a, t_a] aralığında eşit aralıklarla yerleştirilen yamuk noktalarının sayısıdır; daha çok nokta ve uygun bir \(t_a\) doğruluğu artırır.
Genel bir [a, b] aralığında integral alabilir miyim? Evet — yeniden ölçeklendirin: \(x = \tfrac{b - a}{2} \cdot x_i + \tfrac{a + b}{2}\) yerine koyun ve her ağırlığı \(\tfrac{b - a}{2}\) ile çarpın.
