ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تولّد حاسبة عُقَد وأوزان التكامل بطريقة Tanh-Sinh الإحداثيات (العُقَد) \(x_i\) والأوزان المقابلة لها \(w_i\) المستخدمة في قاعدة التكامل Tanh-Sinh — أو ما يُعرف بالطريقة المضاعفة الأسية (DE) — على المجال القياسي [-1, 1]. وبمجرد حصولك على هذه الأزواج، يمكنك تقريب أي تكامل محدّد على هيئة مجموع مرجّح بسيط: فتكامل الدالة f(x) على المجال [-1, 1] يساوي تقريبًا مجموع حواصل ضرب \(w_i\) في \(f(x_i)\).
الطريقة والصيغة
تعتمد طريقة Tanh-Sinh على تغيير المتغيّر \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)، وهو تحويل يُسقِط خط الأعداد الحقيقية \(t\) بأكمله على المجال المفتوح (-1, 1). وتتلاشى الدالة المُحوَّلة تلاشيًا مضاعفًا أسيًا، ولهذا تتقارب قاعدة شبه المنحرف الاعتيادية بسرعة مذهلة. بعد قصّ \(t\) على المجال \([-t_a, t_a]\) وأخذ \(n\) نقطة متباعدة بانتظام بخطوة \(h = 2 t_a / (n - 1)\)، تُعطي كل نقطة القيمة \(t_i = -t_a + (i - 1) h\)، والعُقدة \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\)، والوزن \(w_i\) المعطى بالصيغة:
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} t_i &= -t_a + (i-1)\,h, \quad i = 1,\dots,\text{Order }n \\ h &= \frac{2\,t_a}{\text{Order }n - 1} \\ t_a &= \mathrm{round}\!\left[\left(\text{Digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right] \end{aligned} \right.$$
كيفية الاستخدام
اختر الرتبة \(n\) (عدد نقاط أخذ العيّنات في شبه المنحرف)، ثم حدّد ما إذا كانت قيمة \(t_a\) تُضبط تلقائيًا انطلاقًا من الدقة المطلوبة أو تُدخَل يدويًا، واختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها. في الوضع التلقائي يكون نصف العرض \(t_a = \mathrm{round}\!\left[\left(\text{digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right]\)؛ فعند 22 رقمًا يعطي ذلك القيمة الافتراضية الموثّقة \(t_a = 4.2\). ويستفيد خيار «النصف» من التماثل \(x_{-i} = -x_i\) و \(w_{-i} = w_i\) فيُعيد الجانب غير السالب فقط؛ أما خيار «الكل» فيُدرج كل عُقدة من قُرب -1 إلى قُرب +1.
مثال محلول
لنأخذ \(n = 3\) مع قيمة يدوية \(t_a = 4\) واختيار «الكل»: تكون \(h = 8 / 2 = 4\). وقيم \(t\) الثلاث هي -4 و 0 و 4. عند \(t = 0\) يكون \(x = \tanh(0) = 0\) و \(w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853\). وعند \(t = \pm 4\) يكون المقدار \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) ضخمًا، فتتشبّع \(x\) لتصل إلى \(\pm 1\) ويتلاشى الوزن ليصبح في حُكم الصفر. أما اختيار \(n\) أكبر مع قيمة \(t_a\) مناسبة فيجعل مجموع الأوزان يساوي نحو 2، وهو القيمة الدقيقة لتكامل الدالة \(f = 1\) على المجال [-1, 1].
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون أوزان الطرفين قريبة من الصفر؟ يدفع التلاشي المضاعف الأسي مربّع cosh للمقدار \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\) نحو الطفحان (overflow) قرب الحوافّ، فتختفي تلك الأوزان — وهذا بالضبط هو سبب الدقة الفائقة لهذه القاعدة.
ما المقصود بـ«الرتبة n» هنا؟ إنها عدد نقاط شبه المنحرف المتباعدة بانتظام على المجال \([-t_a, t_a]\)؛ وزيادة عدد النقاط مع قيمة \(t_a\) مناسبة يحسّنان الدقة.
هل أستطيع التكامل على مجال عام [a, b]؟ نعم — أعِد ضبط المقياس: عوّض \(x = (b - a)/2 \times x_i + (a + b)/2\) واضرب كل وزن في \((b - a)/2\).
