ما هي حاسبة الأعداد التخيلية؟
تُعرَّف الوحدة التخيلية i بأنّ \(i^2 = -1\). وفي كل مرة ترفع فيها i إلى أُس صحيح، فإن الناتج يُبسَّط دائمًا إلى واحدة من أربع قيم فقط لا غير: 1 أو i أو -1 أو -i. تأخذ هذه الحاسبة أي أُس n — سواء كان موجبًا أو سالبًا أو صفرًا — وتُعيد لك قيمة \(i^n\) في أبسط صورها، إلى جانب جزأيها الحقيقي والتخيلي.
طريقة الاستخدام
اكتب الأُس n (القوة التي تريد رفع i إليها) ثم اضغط للحساب. تقوم الحاسبة بإيجاد باقي قسمة n على 4، ثم تُظهر القيمة المقابِلة له. كما تتعامل بدقة مع الأُسس السالبة، إذ يُعاد ضبط ناتج باقي القسمة ليقع ضمن النطاق من 0 إلى 3.
شرح القانون
تتكرّر قوى i ضمن دورة طولها أربع خطوات:
$$i^{\,n} = i^{\,(n \bmod 4)}$$
\(i^0 = 1\)، و\(i^1 = i\)، و\(i^2 = -1\)، و\(i^3 = -i\)، ثم يعود الأمر مع \(i^4 = 1\) من جديد. ولهذا السبب فإن \(i^n\) تساوي i مرفوعةً إلى باقي قسمة n على 4. نحسب القيمة \(((n \bmod 4) + 4) \bmod 4\) لكي يبقى الدليل دائمًا 0 أو 1 أو 2 أو 3 — حتى عندما يكون n سالبًا — ثم نربطه بالقيمة المناسبة.
$$i^{\,n} = i^{\,m}, \quad m = ((n \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
مثال محلول
أوجِد قيمة \(i^{30}\). اقسم 30 على 4: نجد أن \(30 = 4 \times 7 + 2\)، أي إن \(30 \bmod 4 = 2\). وبالتالي فإن $$i^{30} = i^{2} = -1.$$ هنا يكون الجزء الحقيقي -1 والجزء التخيلي 0.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(i^0\)؟ أي أساس غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1، ومن ثَمّ فإن \(i^0 = 1\).
كيف تُعالَج القوى السالبة؟ \(i^{-1} = 1/i = -i\). تُعيد عملية باقي القسمة ضبط القيمة -1 إلى الدليل 3، وهو ما يُعطي الناتج الصحيح -i.
لماذا لا توجد سوى أربع نتائج محتملة؟ لأن الضرب في i يُدير العدد بزاوية 90° في المستوى المركّب، وبعد أربع دورات تعود إلى نقطة البداية، مما يُنشئ دورة الخطوات الأربع.
