काल्पनिक संख्या कैलकुलेटर क्या है?
काल्पनिक इकाई i को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि \(i^2 = -1\) होता है। जब भी आप i को किसी पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं, तो उत्तर हमेशा इन चार मानों में से ही एक होता है: 1, i, -1, या -i। यह कैलकुलेटर किसी भी घातांक n को लेता है — चाहे वह धनात्मक हो, ऋणात्मक हो या शून्य — और \(i^n\) को उसके सरलतम रूप में बताता है, साथ ही उसका वास्तविक और काल्पनिक भाग भी।
इसका उपयोग कैसे करें
घातांक n टाइप करें (वह घात जिस तक आप i को बढ़ाना चाहते हैं) और सबमिट करें। कैलकुलेटर n को 4 से भाग देकर शेषफल (modulo 4) निकालता है और उससे मिलता-जुलता मान बताता है। ऋणात्मक घातांक भी सही ढंग से संभाले जाते हैं, क्योंकि modulo का परिणाम 0–3 की सीमा में सामान्यीकृत कर दिया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
i की घातें चार की लंबाई वाला एक दोहराने वाला चक्र बनाती हैं:
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), और फिर \(i^4 = 1\) दोबारा। इसी वजह से, \(i^n\) का मान i की उस घात के बराबर होता है जो n को 4 से भाग देने पर बचने वाला शेषफल है। हम \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\) की गणना करते हैं ताकि सूचकांक हमेशा 0, 1, 2 या 3 ही रहे — ऋणात्मक n के लिए भी — और फिर उसे संबंधित मान से जोड़ देते हैं।
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(i^{30}\) निकालें। 30 को 4 से भाग दें: \(30 = 4 \times 7 + 2\), इसलिए \(30 \bmod 4 = 2\) होता है। अतः $$i^{30} = i^2 = -1$$ यहाँ वास्तविक भाग -1 है और काल्पनिक भाग 0 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(i^0\) कितना होता है? किसी भी शून्येतर आधार की घात 0 हो तो उत्तर 1 होता है, इसलिए \(i^0 = 1\)।
ऋणात्मक घातें कैसे संभाली जाती हैं? \(i^{-1} = 1/i = -i\) होता है। modulo गणित -1 को सूचकांक 3 में सामान्यीकृत कर देता है, जो सही रूप से -i देता है।
केवल चार ही संभावित उत्तर क्यों होते हैं? i से गुणा करना किसी संख्या को सम्मिश्र तल (complex plane) में 90° घुमा देता है; चार बार घुमाने पर आप शुरुआती बिंदु पर लौट आते हैं, जिससे यह 4-चरण का चक्र बनता है।
