परिणाम

Value of iⁿ

-1

काल्पनिक इकाई की सरल की गई घात

वास्तविक भाग	-1
काल्पनिक भाग	0 i
n mod 4	2

काल्पनिक संख्या कैलकुलेटर क्या है?

काल्पनिक इकाई i को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि $i^2 = -1$ होता है। जब भी आप i को किसी पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं, तो उत्तर हमेशा इन चार मानों में से ही एक होता है: 1, i, -1, या -i। यह कैलकुलेटर किसी भी घातांक n को लेता है — चाहे वह धनात्मक हो, ऋणात्मक हो या शून्य — और $i^n$ को उसके सरलतम रूप में बताता है, साथ ही उसका वास्तविक और काल्पनिक भाग भी।

इसका उपयोग कैसे करें

घातांक n टाइप करें (वह घात जिस तक आप i को बढ़ाना चाहते हैं) और सबमिट करें। कैलकुलेटर n को 4 से भाग देकर शेषफल (modulo 4) निकालता है और उससे मिलता-जुलता मान बताता है। ऋणात्मक घातांक भी सही ढंग से संभाले जाते हैं, क्योंकि modulo का परिणाम 0–3 की सीमा में सामान्यीकृत कर दिया जाता है।

सूत्र की व्याख्या

i की घातें चार की लंबाई वाला एक दोहराने वाला चक्र बनाती हैं:

$$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$

$i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, और फिर $i^4 = 1$ दोबारा। इसी वजह से, $i^n$ का मान i की उस घात के बराबर होता है जो n को 4 से भाग देने पर बचने वाला शेषफल है। हम $((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4$ की गणना करते हैं ताकि सूचकांक हमेशा 0, 1, 2 या 3 ही रहे — ऋणात्मक n के लिए भी — और फिर उसे संबंधित मान से जोड़ देते हैं।

$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$

चार-चरणीय चक्र 1, i, -1, -i का वृत्ताकार आरेख — i की घातें चार के चक्र में दोहराती हैं: 1, i, -1, -i.

हल किया हुआ उदाहरण

$i^{30}$ निकालें। 30 को 4 से भाग दें: $30 = 4 \times 7 + 2$, इसलिए $30 \bmod 4 = 2$ होता है। अतः $$i^{30} = i^2 = -1$$ यहाँ वास्तविक भाग -1 है और काल्पनिक भाग 0 है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$i^0$ कितना होता है? किसी भी शून्येतर आधार की घात 0 हो तो उत्तर 1 होता है, इसलिए $i^0 = 1$।

ऋणात्मक घातें कैसे संभाली जाती हैं? $i^{-1} = 1/i = -i$ होता है। modulo गणित -1 को सूचकांक 3 में सामान्यीकृत कर देता है, जो सही रूप से -i देता है।

केवल चार ही संभावित उत्तर क्यों होते हैं? i से गुणा करना किसी संख्या को सम्मिश्र तल (complex plane) में 90° घुमा देता है; चार बार घुमाने पर आप शुरुआती बिंदु पर लौट आते हैं, जिससे यह 4-चरण का चक्र बनता है।

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