Qu'est-ce que la calculatrice de nombres imaginaires ?
L'unité imaginaire i se définit par \(i^2 = -1\). Dès que l'on élève i à une puissance entière, le résultat se ramène toujours à l'une de ces quatre valeurs : 1, i, -1 ou -i. Cette calculatrice accepte n'importe quel exposant n — positif, négatif ou nul — et renvoie in sous sa forme la plus simple, ainsi que sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Comment l'utiliser
Saisissez l'exposant n (la puissance à laquelle vous souhaitez élever i), puis validez. La calculatrice réduit n modulo 4 et affiche la valeur correspondante. Les exposants négatifs sont traités sans difficulté, car le reste obtenu est ramené dans l'intervalle 0–3.
La formule expliquée
Les puissances de i forment un cycle qui se répète tous les quatre termes :
\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), puis \(i^4 = 1\) de nouveau. C'est pourquoi in est égal à i élevé au reste de la division de n par 4 :
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$On calcule \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\) afin que l'indice soit toujours 0, 1, 2 ou 3 — y compris pour les valeurs négatives de n — avant de l'associer à la valeur correspondante :
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
Exemple détaillé
Cherchons i30. Divisons 30 par 4 : \(30 = 4 \times 7 + 2\), donc \(30 \bmod 4 = 2\). Par conséquent, \(i^{30} = i^2 = -1\). La partie réelle vaut -1 et la partie imaginaire vaut 0.
Foire aux questions
Que vaut i0 ? Toute base non nulle élevée à la puissance 0 donne 1, donc \(i^0 = 1\).
Comment sont gérées les puissances négatives ? \(i^{-1} = 1/i = -i\). Le calcul modulo ramène -1 à l'indice 3, ce qui renvoie bien -i.
Pourquoi seulement quatre résultats possibles ? Multiplier par i revient à faire pivoter un nombre de 90° dans le plan complexe ; quatre rotations vous ramènent au point de départ, d'où ce cycle de 4 étapes.
