什麼是虛數計算機？
虛數單位 i 的定義為 \(i^2 = -1\)。只要把 i 提升到任何整數次方，結果一定會化簡成四個值之一：1、i、-1 或 -i。這個計算機可接受任意指數 n——無論是正數、負數還是零——並回傳化到最簡形式的 \(i^n\)，同時顯示它的實部與虛部。
使用方法
輸入指數 n（你想把 i 提升到的次方）後送出。計算機會將 n 對 4 取餘數，並回報對應的值。即使是負指數也能正確處理，因為餘數結果會被歸一到 0 到 3 的範圍內。
公式說明
i 的次方會形成一個長度為 4 的循環：
\(i^0 = 1\)、\(i^1 = i\)、\(i^2 = -1\)、\(i^3 = -i\)，接著 \(i^4\) 又回到 1。正因如此，\(i^n\) 等於 i 提升到「n 除以 4 的餘數」的次方。
$$i^{\,n} = i^{\,m}, \quad m = ((n \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$我們計算 \(((n \bmod 4) + 4) \bmod 4\)，讓索引值永遠落在 0、1、2 或 3——即使 n 為負數也一樣——再對應到相應的值。
實例演算
求 \(i^{30}\)。將 30 除以 4：\(30 = 4 \times 7 + 2\)，所以 \(30 \bmod 4 = 2\)。因此 $$i^{30} = i^2 = -1.$$ 實部為 -1，虛部為 0。
常見問題
\(i^0\) 等於多少？任何非零底數的 0 次方都是 1，所以 \(i^0 = 1\)。
負次方該如何處理？\(i^{-1} = 1/i = -i\)。取餘數的運算會把 -1 歸一到索引 3，正確回傳 -i。
為什麼答案只有四種可能？乘上 i 等於讓一個數在複數平面上旋轉 90°；旋轉四次就會回到原點，因而形成這個四步循環。
