什麼是費波那契數計算器？
這個工具能算出第 n 個費波那契數（記作 \(F_n\)），其中 \(n\) 為任意正整數序號。費波那契數列是數學上最著名的整數數列之一：每一項都是前兩項之和。以 \(F_1 = 1\)、\(F_2 = 1\) 為起始，數列依序展開為 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，並無限延續下去。費波那契數廣泛出現在自然界、藝術、電腦科學以及黃金比例之中。
使用方法
在輸入框中填入序號 \(n\)（1、2、3……）後送出，計算器便會回傳 \(F_n\) 的精確值。由於費波那契數的增長速度大致與 \(\phi^n / \sqrt{5}\) 成正比，數值會迅速變得非常龐大，因此本工具採用精確的大整數運算，而非浮點數計算。這樣即使是很大的結果也能保持完全準確，毫無捨入誤差。
公式解析
定義數列的遞迴式為 $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = F_2 = 1$$ 此外還有一條封閉式公式，即比奈公式（Binet's formula）：$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$ 其中 \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) 為黃金比例，\(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。在這套以 1 為起始的慣例下，兩者算出的數值完全相同；但比奈公式在 \(n\) 較大時會因浮點捨入而喪失精度，因此我們改採逐步迭代的方式來確保精確無誤。
實際範例
當 \(n = 12\) 時，我們逐項推算數列：\(F_1=1\)、\(F_2=1\)、\(F_3=2\)、\(F_4=3\)、\(F_5=5\)、\(F_6=8\)、\(F_7=13\)、\(F_8=21\)、\(F_9=34\)、\(F_{10}=55\)、\(F_{11}=89\)、\(F_{12}=144\)，因此 \(F_{12} = 144\)。用比奈公式驗算：\(\phi^{12}\) 約為 321.9969，\(\psi^{12}\) 約為 0.0031，而 $$\frac{321.9969 - 0.0031}{\sqrt{5}} \approx 144.0$$ 與結果相符。
常見問題
為什麼是 \(F_1 = 1\)、\(F_2 = 1\)，而不是 \(F_0 = 0\)？本計算器採用常見的「以 1 為起始」慣例，數列從序號 1 開始。另一種「以 0 為起始」的慣例則設定 \(F_0 = 0\)、\(F_1 = 1\)，兩者的數值只是序號相差一位而已。
能處理很大的 \(n\) 嗎？可以。本工具採用精確的大整數運算，因此即使序號很大，也會回傳完整的精確整數，而非近似值。
\(n\) 最小可以是多少？\(n\) 必須為正整數，因此最小值為 \(n = 1\)，對應的結果是 \(F_1 = 1\)。
