斐波那契数列计算器是什么？
这个工具可以求出任意正整数序号 \(n\) 对应的第 \(n\) 个斐波那契数，记作 \(F_n\)。斐波那契数列是数学中最著名的整数数列之一：从第三项起，每一项都等于前两项之和。取初始值 \(F_1 = 1\)、\(F_2 = 1\)，数列依次为 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，并无限延续下去。斐波那契数广泛出现在自然界、艺术、计算机科学以及黄金分割比之中。
使用方法
在输入框中填入序号 \(n\)（1、2、3……）并提交，计算器即可返回 \(F_n\) 的精确值。由于斐波那契数大致按 \(\phi^n / \sqrt{5}\) 的速度增长，数值会迅速变得非常庞大，因此本工具采用精确的大整数运算，而非浮点数计算。这样即使结果很大，也能保持完全精确，不会产生任何舍入误差。
公式详解
定义性的递推公式为
$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = 1,\ F_2 = 1$$此外还有一个闭式表达式，即比内公式（Binet's formula）：
$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$其中 \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) 为黄金分割比，\(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。在这种以 1 为起始的约定下，两种方法给出的结果完全一致；但当 \(n\) 较大时，比内公式会因浮点舍入而损失精度，因此我们采用逐项迭代的方式来保证结果的精确性。
实例演算
以 \(n = 12\) 为例，我们逐项推导数列：\(F_1=1\)、\(F_2=1\)、\(F_3=2\)、\(F_4=3\)、\(F_5=5\)、\(F_6=8\)、\(F_7=13\)、\(F_8=21\)、\(F_9=34\)、\(F_{10}=55\)、\(F_{11}=89\)、\(F_{12}=144\)。因此 \(F_{12} = 144\)。用比内公式验证：\(\phi^{12}\) 约为 \(321.9969\)，\(\psi^{12}\) 约为 \(0.0031\)，则
$$\frac{321.9969 - 0.0031}{\sqrt{5}} \approx 144.0$$结果得到印证。
常见问题
为什么取 \(F_1 = 1\)、\(F_2 = 1\)，而不是 \(F_0 = 0\)？本计算器采用常见的「以 1 为起始」约定，即数列从序号 1 开始。在另一种「以 0 为起始」的约定中，\(F_0 = 0\)、\(F_1 = 1\)；两者的数值只是相差一个序号而已。
能处理很大的 \(n\) 吗？可以。本工具采用精确的大整数运算，因此即便序号很大，也会返回完整、精确的整数，而非近似值。
\(n\) 的最小有效值是多少？\(n\) 必须是正整数，因此最小值为 \(n = 1\)，对应 \(F_1 = 1\)。
