¿Qué es la calculadora de números de Fibonacci?
Esta herramienta devuelve el n-ésimo número de Fibonacci, escrito \(F_n\), para cualquier índice ordinal entero positivo \(n\). La sucesión de Fibonacci es una de las más célebres de las matemáticas: cada término es la suma de los dos anteriores. Partiendo de \(F_1 = 1\) y \(F_2 = 1\), la sucesión comienza así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, y continúa de forma infinita. Los números de Fibonacci aparecen en la naturaleza, el arte, la informática y en la proporción áurea.
Cómo usarla
Introduce el índice ordinal \(n\) (1, 2, 3, ...) en el campo correspondiente y pulsa para calcular. La calculadora devuelve el valor exacto de \(F_n\). Como los números de Fibonacci crecen aproximadamente como \(\phi^n / \sqrt{5}\), se vuelven enormes muy rápido, por eso esta herramienta utiliza aritmética exacta de enteros grandes en lugar de coma flotante. Así, incluso los resultados más grandes se mantienen perfectamente precisos, sin errores de redondeo.
La fórmula explicada
La recurrencia que la define es $$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = F_2 = 1$$ Existe también una forma cerrada, la fórmula de Binet: $$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$ donde \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) es la proporción áurea y \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Ambas dan los mismos valores con esta convención que empieza en 1, pero la fórmula de Binet pierde precisión para valores grandes de \(n\) debido al redondeo en coma flotante, así que calculamos el resultado de forma iterativa para garantizar su exactitud.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 12\) vamos construyendo la sucesión: \(F_1=1\), \(F_2=1\), \(F_3=2\), \(F_4=3\), \(F_5=5\), \(F_6=8\), \(F_7=13\), \(F_8=21\), \(F_9=34\), \(F_{10}=55\), \(F_{11}=89\), \(F_{12}=144\). Por tanto, $$F_{12} = 144$$ Una comprobación con Binet: \(\phi^{12}\) es aproximadamente \(321{,}9969\) y \(\psi^{12}\) unos \(0{,}0031\), y $$\frac{321{,}9969 - 0{,}0031}{\sqrt{5}} \approx 144{,}0$$ lo que confirma el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(F_1 = 1\) y \(F_2 = 1\) en lugar de \(F_0 = 0\)? Esta calculadora utiliza la convención habitual que empieza en el índice 1. En la convención alternativa que empieza en 0, \(F_0 = 0\) y \(F_1 = 1\); los valores simplemente se desplazan un índice.
¿Puede manejar valores grandes de \(n\)? Sí. Emplea aritmética exacta de enteros grandes, de modo que incluso los índices más altos devuelven el entero exacto completo y no una aproximación.
¿Cuál es el menor valor válido de \(n\)? \(n\) debe ser un entero positivo, así que el mínimo es \(n = 1\), que da \(F_1 = 1\).
