Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la función de Fibonacci \(F(\nu)\): la extensión de los conocidos números de Fibonacci desde los índices enteros hasta cualquier número real \(\nu\). Emplea la extensión real en forma cerrada (de tipo Binet) y genera una tabla con pares (índice \(\nu\), valor \(F(\nu)\)) sobre el rango que elijas. Se trata de matemática pura, así que funciona exactamente igual en cualquier parte del mundo.
La fórmula
Sea \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) el número áureo (aproximadamente 1,6180339887) y ten en cuenta que \(1/\varphi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). La función de Fibonacci real es:
$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$
En la fórmula discreta de Binet, \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) con \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -1/\varphi\), el término \(\psi^{\nu}\) es multivaluado para \(\nu\) real. Si tomamos la rama real obtenemos \(\psi^{\nu} = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\), que reproduce exactamente la fórmula de Binet para enteros, porque \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\).
Cómo utilizarla
Introduce el Valor inicial del índice v (la \(\nu\) de la primera fila), el Incremento (cuánto cambia \(\nu\) en cada fila, que puede ser negativo) y el Número de repeticiones (cuántas filas quieres). La calculadora muestra \(F(\nu)\) para cada \(\nu_k = \text{índiceInicial} + k\cdot\text{tamañoDelPaso}\) y resalta el primer y el último valor.
Ejemplo resuelto
En \(\nu = 10\): \(\varphi^{10} \approx 122{,}9919\) y \(\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0{,}00813\), con \(\cos(10\pi) = 1\). Por tanto $$F(10) = \frac{122{,}9919 - 0{,}00813}{\sqrt{5}} = 55,$$ que coincide con el décimo número de Fibonacci. En \(\nu = 0{,}5\), como \(\cos(0{,}5\pi) = 0\), resulta \(F(0{,}5) = \frac{\varphi^{0{,}5}}{\sqrt{5}} \approx 0{,}568864\).
Preguntas frecuentes
¿Devuelve los números de Fibonacci habituales? Sí: en cada índice entero se reduce a la fórmula clásica de Binet, incluidos los valores de índice negativo o «negafibonacci».
¿Por qué se usa \(\cos(\nu\pi)\)? Porque es la rama real de \(\psi^{\nu}\) y aporta el signo alternante que hace que los índices enteros sean exactos.
¿Existen otras extensiones? Sí; hay continuaciones analíticas con valores complejos y otras basadas en el seno. Esta calculadora utiliza la extensión concreta de rama real \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\).
