À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la fonction de Fibonacci \(F(v)\) : le prolongement des célèbres nombres de Fibonacci, des indices entiers vers n'importe quel nombre réel \(v\). Il s'appuie sur l'extension réelle sous forme close (de type Binet) et construit une table de couples (indice \(v\), valeur \(F(v)\)) sur la plage de votre choix. Il s'agit de mathématiques pures : les résultats sont donc rigoureusement les mêmes partout.
La formule
Posons \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), le nombre d'or (environ 1,6180339887), et remarquons que \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\). La fonction de Fibonacci réelle s'écrit :
$$F(v) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{v} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\right]$$Dans la formule de Binet discrète \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\), avec \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\), le terme \(\psi^{v}\) devient multivalué lorsque \(v\) est réel. En retenant la branche réelle, on obtient \(\psi^{v} = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\), ce qui redonne exactement la formule de Binet pour les entiers, car \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\).
Mode d'emploi
Saisissez la Valeur initiale de l'indice \(v\) (le \(v\) de la première ligne), l'Incrément (la variation de \(v\) d'une ligne à l'autre, qui peut être négative) et le Nombre de répétitions (le nombre de lignes). Le calculateur affiche \(F(v)\) pour chaque \(v_k = \text{indice de départ} + k\cdot\text{pas}\), et met en évidence la première et la dernière valeur.
Exemple détaillé
Pour \(v = 10\) : \(\varphi^{10} \approx 122{,}9919\) et \(\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0{,}00813\), avec \(\cos(10\pi) = 1\). On obtient donc $$F(10) = \frac{122{,}9919 - 0{,}00813}{\sqrt{5}} = 55,$$ soit bien le dixième nombre de Fibonacci. Pour \(v = 0{,}5\), \(\cos(0{,}5\pi) = 0\), d'où \(F(0{,}5) = \frac{\varphi^{0,5}}{\sqrt{5}} \approx 0{,}568864\).
FAQ
Retrouve-t-on les nombres de Fibonacci habituels ? Oui : à chaque indice entier, la fonction se réduit à la formule de Binet classique, y compris pour les valeurs à indice négatif (les « négafibonacci »).
Pourquoi utiliser \(\cos(v\pi)\) ? Parce qu'il s'agit de la branche réelle de \(\psi^{v}\) ; il apporte l'alternance de signe qui rend les indices entiers exacts.
Existe-t-il d'autres extensions ? Oui : il existe des prolongements analytiques à valeurs complexes ou fondés sur le sinus. Ce calculateur emploie l'extension par branche réelle bien précise \(F(v) = \frac{\varphi^{v} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)}{\sqrt{5}}\).
