Qu'est-ce que la fonction Gamma ?
La fonction Gamma, notée \(\Gamma(z)\), est le prolongement continu de la factorielle. Pour tout entier positif n, elle vérifie \(\Gamma(n) = (n - 1)!\), de sorte que \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Contrairement à la factorielle classique, la fonction Gamma est définie pour tous les nombres réels et complexes, à l'exception des entiers négatifs ou nuls (0, −1, −2, …), où elle présente des pôles. On la retrouve partout en mathématiques, en statistiques (lois gamma, bêta et du khi-deux), en physique et en combinatoire.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez n'importe quelle valeur de z — un entier, une fraction ou un nombre négatif qui n'est pas un entier — et le calculateur renvoie \(\Gamma(z)\). Par exemple, \(\Gamma(0{,}5) = \sqrt{\pi} \approx 1{,}772454\) et \(\Gamma(2{,}5) \approx 1{,}329340\). Évitez de saisir 0 ou des entiers négatifs, car la fonction n'y est pas définie.
La formule expliquée
Cet outil s'appuie sur l'approximation de Lanczos, une série à la fois rapide et très précise, utilisant une constante \(g = 7\) et neuf coefficients précalculés. L'identité centrale s'écrit $$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi}\,\left(z + g + \tfrac{1}{2}\right)^{z + \frac{1}{2}}\, e^{-\left(z + g + \frac{1}{2}\right)}\, A_g(z),$$ où \(A_g(z)\) désigne la somme pondérée des coefficients. Lorsque \(z < 0{,}5\), le calculateur applique d'abord la formule de réflexion $$\Gamma(z)\,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)},$$ qui permet d'évaluer avec précision les arguments petits et négatifs.
Exemple détaillé
Pour calculer \(\Gamma(5)\) : comme 5 est un entier positif, $$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.$$ L'approximation de Lanczos renvoie 24,0000 (aux arrondis près), ce qui confirme bien le lien avec la factorielle.
FAQ
Pourquoi ne puis-je pas calculer \(\Gamma(0)\) ou \(\Gamma(-2)\) ? La fonction Gamma possède des pôles à chaque entier négatif ou nul : elle y croît sans limite et n'y est donc pas définie.
Quelle est la précision du résultat ? L'approximation de Lanczos avec \(g = 7\) atteint environ 15 chiffres significatifs pour des entrées courantes — bien au-delà de ce que l'affichage montre.
\(\Gamma(z)\) est-elle la même chose que la factorielle ? Les deux sont étroitement liées : \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) pour tout entier positif n. La fonction Gamma généralise la factorielle aux arguments non entiers et négatifs.
