Qu'est-ce que la fonction gamma incomplète ?
La fonction gamma incomplète généralise la fonction gamma ordinaire (dite complète) en arrêtant l'intégrale à un point fini plutôt qu'en l'étendant jusqu'à l'infini. La fonction gamma incomplète inférieure \(\gamma(a,x)\) intègre \(t^{a-1} e^{-t}\) de 0 jusqu'à x, tandis que la fonction gamma incomplète supérieure \(\Gamma(a,x)\) intègre de x jusqu'à l'infini. Toutes deux dépendent d'un paramètre de forme a et d'un argument x, et toutes deux sont des nombres réels purs, sans dimension. On les rencontre constamment en statistique (les fonctions de répartition des lois du khi-deux et gamma), en physique, en ingénierie de la fiabilité et en théorie des files d'attente.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le paramètre de forme a (qui doit être strictement positif, \(a > 0\)) et l'argument x (qui doit être positif ou nul, \(x \ge 0\)). Le calculateur renvoie \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) ainsi que la fonction gamma complète \(\Gamma(a)\), ce qui vous permet de vérifier l'identité \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\). En \(x = 0\), la fonction inférieure vaut 0 et la fonction supérieure égale \(\Gamma(a)\) ; à mesure que x augmente, la fonction inférieure tend vers \(\Gamma(a)\) et la fonction supérieure tend vers 0.
La formule et l'algorithme
Les intégrales de définition sont $$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ et $$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$ Pour les évaluer de manière stable, cet outil utilise les formes régularisées \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) et \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). Lorsque \(x < a+1\), une série entière à convergence rapide fournit \(P\) ; sinon, une fraction continue de Lentz fournit \(Q\). La gamma complète \(\Gamma(a)\) est obtenue à partir d'une approximation de Lanczos de \(\ln \Gamma(a)\). Il s'agit de la décomposition classique gammp/gammq des Numerical Recipes, précise à environ 15 chiffres significatifs en double précision.
Exemple détaillé
Prenons \(a = 1\) et \(x = 2\). Comme \(t^{a-1} = t^0 = 1\), la fonction inférieure correspond à l'intégrale de \(e^{-t}\) de 0 à 2 $$1 - e^{-2} = 1 - 0{,}13533528 = 0{,}86466472$$ La fonction supérieure vaut \(e^{-2} = 0{,}13533528\), et \(\Gamma(1) = 1\). La vérification de l'identité \(0{,}86466472 + 0{,}13533528 = 1{,}0\) confirme le résultat.
Foire aux questions
Pourquoi a doit-il être positif ? Les définitions convergentes et l'évaluation de ln-gamma par Lanczos exigent \(a > 0\) ; aux entiers négatifs ou nuls, \(\Gamma(a)\) présente des pôles.
Que se passe-t-il si x vaut 0 ? \(\gamma(a,0) = 0\) et \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\), donc la fonction supérieure égale la fonction gamma complète.
Quelle est la précision du résultat ? L'arithmétique en double précision et la décomposition série / fraction continue garantissent environ 15 chiffres significatifs sur tout le domaine valide.
