什么是不完全伽马函数？
不完全伽马函数是对普通（完全）伽马函数的推广：它把积分在某个有限点处截断，而不是一直积分到无穷大。其中，下不完全伽马函数 \(\gamma(a,x)\) 把 \(t^{a-1} e^{-t}\) 从 0 积分到 \(x\)；而上不完全伽马函数 \(\Gamma(a,x)\) 则从 \(x\) 积分到无穷大。两者都依赖于形状参数 \(a\) 和自变量 \(x\)，且都是纯粹的无量纲实数。它们在统计学（卡方分布与伽马分布的累积分布函数）、物理学、可靠性工程以及排队论中频繁出现。
如何使用本计算器
输入形状参数 a（必须为正，\(a>0\)）和自变量 x（必须非负，\(x\geq 0\)）。计算器会返回 \(\gamma(a,x)\)、\(\Gamma(a,x)\) 以及完全伽马函数 \(\Gamma(a)\)，方便你验证恒等式 \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\)。当 \(x = 0\) 时，下不完全函数为 0，上不完全函数等于 \(\Gamma(a)\)；随着 \(x\) 不断增大，下不完全函数趋近于 \(\Gamma(a)\)，上不完全函数则趋近于 0。
公式与算法
其定义积分为：
$$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$$$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$为保证数值计算的稳定性，本工具采用正则化形式 \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) 与 \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\)。当 \(x < a+1\) 时，使用快速收敛的幂级数计算 \(P\)；否则采用 Lentz 连分式计算 \(Q\)。完全伽马函数 \(\Gamma(a)\) 则通过 \(\ln \Gamma(a)\) 的 Lanczos 近似求得。这正是经典《Numerical Recipes》中 gammp/gammq 的分段算法，在双精度下可达到约 15 位有效数字的精度。
计算实例
取 \(a = 1\)、\(x = 2\)。由于 \(t^{a-1} = t^0 = 1\)，下不完全函数即为 \(e^{-t}\) 从 0 到 2 的积分
$$1 - e^{-2} = 1 - 0.13533528 = 0.86466472$$上不完全函数为 \(e^{-2} = 0.13533528\)，而 \(\Gamma(1) = 1\)。恒等式验证：
$$0.86466472 + 0.13533528 = 1.0$$结果正确。
常见问题
为什么 a 必须为正？ 收敛的积分定义以及 Lanczos 的 ln-gamma 计算都要求 \(a>0\)；在非正整数处，\(\Gamma(a)\) 存在极点。
当 x 为 0 时会怎样？ \(\gamma(a,0) = 0\)，\(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\)，也就是说上不完全函数此时等于完全伽马函数。
结果有多精确？ 双精度运算结合级数/连分式分段算法，在整个有效定义域内可提供约 15 位有效数字的精度。
