不完全贝塔函数计算器（高斯-勒让德积分）

输入计算

结果

不完全贝塔函数 B_x(a,b)

0.0095238095

定积分的值

被积函数	t^(a-1) (1-t)^(b-1)
计算方法	高斯-勒让德求积法
使用的节点数 (n)	20

这个计算器有什么用

本工具用于计算下不完全贝塔函数，其定义为定积分 $B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$。被积函数 $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ 正是贝塔分布与贝塔-二项分布的核函数。当积分上限 $x = 1$（下限为 0）时，结果就等于完全贝塔函数 $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

使用方法

输入两个形状参数：a（变量 a）和 b，两者都应为正数。设定积分区间的下限和上限 x（通常取 0 到 1 之间）。再选择划分数 n——即高斯-勒让德节点的个数。n 越大精度越高；对于光滑的被积函数，$n = 20$ 已经绰绰有余。把区间保持在 [0, 1]，即可得到完全贝塔函数。

公式解析

积分采用高斯-勒让德求积法计算。先用牛顿迭代法求出勒让德多项式 $P_n$ 的根，得到 $[-1, 1]$ 上的标准节点 $x_i$ 和权重 $w_i$，再线性映射到所选区间 $[c, d]$：$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}.$$于是积分近似为 $$\frac{d-c}{2}\cdot \sum w_i\, f(t_i).$$由于高斯-勒让德法能精确积分次数不超过 $2n-1$ 的多项式，对光滑被积函数收敛极快。

用若干加权采样点近似的曲线下面积 — 高斯-勒让德求积在最优分布的节点处对被积函数取样，并对加权值求和。

贝塔被积函数曲线，其下方从 0 到 x 的区域被阴影标出 — $B_x(a,b)$ 是 $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ 下方从 0 到 x 的阴影面积。

实例演算

取 $a = 3$、$b = 5$，区间 [0, 1]，$n = 20$，结果即为完全贝塔函数 $$B(3,5) = \frac{2! \cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0.0095238095\ldots = \frac{1}{105}.$$求积结果可精确还原到双精度浮点的全部有效位。