Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la función beta incompleta inferior, definida como la integral definida \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt\). El integrando \(t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\) es el núcleo de las distribuciones beta y beta-binomial. Cuando el límite superior es \(x = 1\) (con límite inferior 0), el resultado coincide con la función beta completa \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\).
Cómo usarla
Introduce los dos parámetros de forma: a (variable a) y b. Ambos deben ser positivos. Fija el límite inferior del intervalo de integración y el límite superior x (normalmente entre 0 y 1). Elige el número de divisiones n, es decir, la cantidad de nodos de Gauss-Legendre. Cuanto mayor sea n, más precisión obtendrás; con n = 20 basta de sobra para integrandos suaves. Deja el intervalo en [0, 1] para obtener la función beta completa.
La fórmula explicada
La integral se calcula mediante cuadratura de Gauss-Legendre. Los nodos estándar \(x_i\) y los pesos \(w_i\) en [-1, 1] se generan como raíces del polinomio de Legendre \(P_n\) usando el método de Newton, y después se aplican linealmente al intervalo elegido [c, d]:
$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}.$$La integral se aproxima entonces por
$$\frac{d-c}{2}\cdot \sum w_i\, f(t_i).$$Como Gauss-Legendre integra de forma exacta los polinomios de grado hasta \(2n-1\), converge a velocidad vertiginosa con integrandos suaves.
$$\begin{gathered} B_x(a,b) = \int_{\text{c}}^{\text{x}} t^{\,\text{a}-1}\,(1-t)^{\,\text{b}-1}\,dt \;\approx\; \frac{d-c}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(t_i\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} f(t) &= t^{\,\text{a}-1}\,(1-t)^{\,\text{b}-1} \\ t_i &= \frac{d-c}{2}\,z_i + \frac{d+c}{2} \\ c &= \text{lower},\quad d = \text{x} \\ n &= \text{divisions} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Con a = 3, b = 5, intervalo [0, 1] y n = 20, el resultado es la función beta completa
$$B(3,5) = \frac{2!\cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0{,}0095238095\ldots = \frac{1}{105}.$$La cuadratura reproduce este valor con toda la precisión de doble (double precision).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si \(0 < a < 1\) o \(0 < b < 1\)? El integrando presenta una singularidad integrable en un extremo. Como los nodos de Gauss-Legendre son interiores, el resultado sigue siendo finito, pero la precisión baja: aumenta n.
¿Cómo obtengo la beta incompleta regularizada \(I_x(a,b)\)? Divide este resultado entre la función beta completa (calcúlala fijando el intervalo en [0, 1]).
¿Por qué a veces el resultado sale negativo? Si el límite superior es menor que el inferior, la integral con signo es negativa, lo cual es matemáticamente correcto.
