Qué hace esta calculadora
La calculadora de la función beta incompleta inversa encuentra el límite superior de integración x para el cual una función beta determinada alcanza un valor objetivo y. Puedes invertir tanto la función beta incompleta sin normalizar \(B_x(a,b)\) como su versión regularizada (normalizada) \(I_x(a,b)\). Dado que \(I_x(a,b)\) crece de forma monótona de 0 a 1, esta inversión equivale exactamente a la operación de cuantil (punto porcentual) que sustenta la distribución beta y los valores críticos de las distribuciones t de Student, F de Fisher y binomial.
Cómo utilizarla
Elige la Función que quieres invertir. Introduce el objetivo y y los dos parámetros de forma positivos a y b. En el modo regularizado, y debe estar comprendido entre 0 y 1. En el modo sin normalizar, y debe situarse entre 0 y el valor de la beta completa B(a,b), que el panel de resultados te muestra. Tanto a como b deben ser estrictamente mayores que 0.
La fórmula y el algoritmo
La beta completa se calcula como \(B(a,b)=\exp(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b))\). El objetivo se transforma en una probabilidad regularizada p (\(p=y\) para \(I_x\), \(p=y/B(a,b)\) para \(B_x\)). La función directa \(I_x(a,b)\) se evalúa mediante una fracción continua (iteración de Lentz modificada) aplicando el conocido truco de simetría de los argumentos para mayor estabilidad, y la ecuación $$x = I^{-1}_{\text{y}}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad I_x\!\left(\text{a},\text{b}\right) = \text{y}$$ se resuelve por bisección en el intervalo \([0,1]\), lo que garantiza la convergencia.
$$x = I^{-1}_{\left(\text{y}\,/\,B\right)}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right),\qquad B = \frac{\Gamma(\text{a})\,\Gamma(\text{b})}{\Gamma(\text{a}+\text{b})}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos el modo regularizado con \(y = 0{,}3\), \(a = 1\) y \(b = 3\). Con \(a = 1\) se cumple la identidad \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\), de modo que $$1-(1-x)^{3}=0{,}3 \implies (1-x)^{3}=0{,}7$$ por tanto \(1-x = 0{,}887904\) y \(x \approx 0{,}1120959\). En el modo sin normalizar con los mismos y, a y b: \(B(1,3)=1/3\), así que \(p=0{,}3/(1/3)=0{,}9\), lo que da \((1-x)^{3}=0{,}1\) y \(x \approx 0{,}5358407\).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre \(B_x\) e \(I_x\)? \(I_x\) es \(B_x\) dividida por la beta completa \(B(a,b)\), de modo que \(I_x\) siempre varía entre 0 y 1, mientras que \(B_x\) varía entre 0 y \(B(a,b)\).
¿Por qué a y b deben ser positivos? La integral que define la función solo converge si \(a>0\) y \(b>0\); de lo contrario, la función Gamma y la propia integral quedan indefinidas.
¿Qué precisión tiene el resultado? El método de búsqueda de la raíz converge prácticamente con doble precisión (unos 15 dígitos significativos), de sobra para el cálculo de cuantiles estadísticos.
