Bu araç ne işe yarar?
Ters tamamlanmamış beta fonksiyonu hesaplama aracı, seçtiğiniz beta fonksiyonunun hedef bir y değerine ulaştığı üst integral sınırı x'i bulur. Normalleştirilmemiş tamamlanmamış beta fonksiyonu \(B_x(a,b)\)'yi ya da düzenli (normalleştirilmiş) sürüm \(I_x(a,b)\)'yi tersine çevirebilirsiniz. \(I_x(a,b)\) 0'dan 1'e doğru sürekli (monoton) arttığı için bu tersine çevirme işlemi, beta dağılımının ardındaki kuantil (yüzdelik nokta) hesabıyla ve Student t, Fisher F ile binom dağılımlarının kritik değerleriyle birebir aynıdır.
Nasıl kullanılır?
Tersine çevirmek istediğiniz Fonksiyonu seçin. Hedef y değerini ve iki pozitif şekil parametresi olan a ile b'yi girin. Düzenli modda y değeri 0 ile 1 arasında olmalıdır. Normalleştirilmemiş modda ise y, 0 ile tam beta değeri \(B(a,b)\) arasında olmalıdır; bu değeri sonuç panelinde görebilirsiniz. Hem a hem de b kesinlikle 0'dan büyük olmalıdır.
Formül ve algoritma
Tam beta şu şekilde hesaplanır: $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right).$$ Hedef değer, düzenli bir olasılık p'ye dönüştürülür (\(I_x\) için \(p=y\), \(B_x\) için \(p=y/B(a,b)\)). İleri yöndeki \(I_x(a,b)\), kararlılık için standart simetrik-argüman tekniğini kullanan bir sürekli kesir (değiştirilmiş Lentz yinelemesi) ile hesaplanır ve \(I_x(a,b)=p\) denklemi, yakınsaması garanti edilen ikiye bölme (bisection) yöntemiyle \([0,1]\) aralığında çözülür.
Örnek çözüm
Düzenli modu \(y = 0{,}3\), \(a = 1\), \(b = 3\) değerleriyle ele alalım. \(a = 1\) olduğunda \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\) özdeşliği geçerlidir; dolayısıyla $$1-(1-x)^{3}=0{,}3$$ ifadesinden \((1-x)^{3}=0{,}7\) çıkar, buradan \(1-x = 0{,}887904\) ve x ≈ 0,1120959 bulunur. Aynı y, a, b değerleriyle normalleştirilmemiş modda: \(B(1,3)=1/3\) olduğundan \(p=0{,}3/(1/3)=0{,}9\) olur, bu da \((1-x)^{3}=0{,}1\) ve x ≈ 0,5358407 sonucunu verir.
Sık sorulan sorular
\(B_x\) ile \(I_x\) arasındaki fark nedir? \(I_x\), \(B_x\)'in tam beta \(B(a,b)\)'ye bölünmesiyle elde edilir; bu nedenle \(I_x\) her zaman 0 ile 1 arasında, \(B_x\) ise 0 ile \(B(a,b)\) arasında değişir.
a ve b neden pozitif olmalı? Tanımlayıcı integral yalnızca \(a>0\) ve \(b>0\) için yakınsar; aksi takdirde Gamma fonksiyonu ve integral tanımsız kalır.
Sonuç ne kadar hassas? Kök bulucu, yaklaşık çift duyarlığa (~15 anlamlı basamak) yakınsar; bu da istatistiksel kuantil çalışmaları için fazlasıyla yeterlidir.
