Tamamlanmamış Beta Fonksiyonu ve Düzenlenmiş Tamamlanmamış Beta Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

a (birinci şekil parametresi)

b (ikinci şekil parametresi)

x'in başlangıç değeri

Artış

Tekrar sayısı

Sonuç

Tam beta fonksiyonu B(a,b)

0,333333

last row x = 1: Bx = 0,333333, Ix = 1

x	Bx(a,b)	Ix(a,b)
0	0	0
0,02	0,01960267	0,058808
0,04	0,03842133	0,115264
0,06	0,056472	0,169416
0,08	0,07377067	0,221312
0,1	0,09033333	0,271
0,12	0,106176	0,318528
0,14	0,12131467	0,363944
0,16	0,13576533	0,407296
0,18	0,149544	0,448632
0,2	0,16266667	0,488
0,22	0,17514933	0,525448
0,24	0,187008	0,561024
0,26	0,19825867	0,594776
0,28	0,20891733	0,626752
0,3	0,219	0,657
0,32	0,22852267	0,685568
0,34	0,23750133	0,712504
0,36	0,245952	0,737856
0,38	0,25389067	0,761672
0,4	0,26133333	0,784
0,42	0,268296	0,804888
0,44	0,27479467	0,824384
0,46	0,28084533	0,842536
0,48	0,286464	0,859392
0,5	0,29166667	0,875
0,52	0,29646933	0,889408
0,54	0,300888	0,902664
0,56	0,30493867	0,914816
0,58	0,30863733	0,925912
0,6	0,312	0,936
0,62	0,31504267	0,945128
0,64	0,31778133	0,953344
0,66	0,320232	0,960696
0,68	0,32241067	0,967232
0,7	0,32433333	0,973
0,72	0,326016	0,978048
0,74	0,32747467	0,982424
0,76	0,32872533	0,986176
0,78	0,329784	0,989352
0,8	0,33066667	0,992
0,82	0,33138933	0,994168
0,84	0,331968	0,995904
0,86	0,33241867	0,997256
0,88	0,33275733	0,998272
0,9	0,333	0,999
0,92	0,33316267	0,999488
0,94	0,33326133	0,999784
0,96	0,333312	0,999936
0,98	0,33333067	0,999992
1	0,33333333	1

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, a ve b şekil parametreleri için bir x aralığında birbiriyle yakından ilişkili iki özel fonksiyonu tablo haline getirir. Alt tamamlanmamış beta fonksiyonu \(B_x(a,b)\), beta çekirdeğinin 0'dan x'e kadar olan integralidir; düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\) ise bu integralin tam beta fonksiyonu \(B(a,b)\)'ye bölünmüş halidir. \(I_x(a,b)\) aynı zamanda Beta(a,b) dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonudur (CDF) ve binom, Student t, F ile diğer pek çok dağılımın CDF'lerinin temelini oluşturur.

Nasıl kullanılır?

a ve b şekil parametrelerini girin (her ikisi de pozitif olmalıdır). Bir başlangıç x değeri (x'in başlangıç değeri), bir Artış adımı ve Tekrar sayısı (satır sayısı) seçin. i. satır şu formülü kullanır: \(x = \text{başlangıçX} + i \times \text{adım}\). Değerler [0, 1] aralığında tutulur; x değeri 1'e ulaştığında tablo durur. Üstteki kutu tam beta \(B(a,b)\) ile son satırı gösterirken, kaydırılabilir tablo her x değerini \(B_x(a,b)\) ve \(I_x(a,b)\) ile birlikte listeler.

Formülün açıklaması

Tam beta, log-gama fonksiyonu için Lanczos yaklaşımı kullanılarak kararlı biçimde şöyle hesaplanır:

$$B(a,b) = \exp(\text{lgamma}(a) + \text{lgamma}(b) - \text{lgamma}(a+b))$$

Düzenlenmiş değer \(I_x(a,b)\), klasik Numerical Recipes sürekli kesir yöntemiyle (Lentz algoritması) değerlendirilir: \(bt = \exp(\text{lgamma}(a+b) - \text{lgamma}(a) - \text{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x))\) olmak üzere, \(x < (a+1)/(a+b+2)\) iken \(I_x = bt\cdot\text{betacf}(a,b,x)/a\), aksi halde \(I_x = 1 - bt\cdot\text{betacf}(b,a,1-x)/b\) kullanılır. Son olarak \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). \(\log(0)\) durumundan kaçınmak için uç noktalar \(I_0 = 0\) ve \(I_1 = 1\) tam olarak ele alınır.

Reklam

Düzenlenmiş eksik beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\), x 0'dan 1'e giderken 0'dan 1'e monoton olarak artar.

Alt eksik beta fonksiyonu, integral alınan fonksiyonun altında 0'dan x'e kadar taranan alandır.

Çözümlü örnek

a = 1, b = 3 için:

$$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333$$

x = 0,5 noktasında kapalı form

$$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0{,}125}{3} = 0{,}291667$$

verir; dolayısıyla

$$I_x = \frac{0{,}291667}{0{,}333333} = 0{,}875$$

olur. Simetri kontrolü \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\) sonucu doğrular.

Sıkça sorulan sorular

Bx ile Ix arasındaki fark nedir? \(B_x(a,b)\) ham integraldir; \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) ise 0 ile 1 arasında olacak şekilde normalleştirilmiştir.

a ve b neden pozitif olmalı? İntegral ve gama fonksiyonları yalnızca \(a > 0\) ve \(b > 0\) için yakınsar.

Adımım x'i 1'in ötesine taşırsa ne olur? Her x değeri 1'e sabitlenir ve tablo x = 1 noktasında durur; burada \(B_x(a,b) = B(a,b)\) ve \(I_x(a,b) = 1\) olur.