ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُنشئ هذه الأداة جدولاً لدالتين خاصتين مترابطتين بشكل وثيق عبر مدى من قيم x ولمعاملي الشكل a وb. فدالة بيتا السفلية غير المكتملة Bx(a,b) هي تكامل نواة بيتا من 0 إلى x، أما دالة بيتا المنظَّمة غير المكتملة Ix(a,b) فهي هذا التكامل مقسوماً على دالة بيتا الكاملة \(B(a,b)\). وتمثّل \(I_x(a,b)\) أيضاً دالة التوزيع التراكمي (CDF) لتوزيع بيتا Beta(a,b)، وهي الأساس الذي تقوم عليه دوال التوزيع التراكمي للتوزيع ذي الحدّين، وتوزيع ستيودنت t، وتوزيع F، والعديد من التوزيعات الأخرى.
طريقة الاستخدام
أدخل معاملي الشكل a وb (ويجب أن يكونا موجبين). ثم اختر قيمة بداية لـ x (القيمة الابتدائية لـ x)، ومقدار الزيادة في كل خطوة، وعدد التكرارات (أي عدد الصفوف). يستخدم الصف رقم i القيمة \(x = \text{القيمة الابتدائية} + i \times \text{مقدار الزيادة}\). تُبقى القيم ضمن المجال [0، 1]، وبمجرد أن تبلغ x القيمة 1 يتوقف الجدول. ويعرض الإطار العلوي قيمة دالة بيتا الكاملة \(B(a,b)\) إلى جانب الصف الأخير، بينما يسرد الجدول القابل للتمرير كل قيمة x مع \(B_x(a,b)\) و\(I_x(a,b)\).
شرح الصيغة الرياضية
تُحسب دالة بيتا الكاملة بطريقة مستقرة عددياً كالتالي: $$B(a,b) = \exp(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b))$$ باستخدام تقريب لانكزوس (Lanczos) لدالة لوغاريتم غاما. أما القيمة المنظَّمة \(I_x(a,b)\) فتُحسب باستخدام الكسر المستمر الكلاسيكي من كتاب Numerical Recipes (خوارزمية لينتز Lentz): حيث $$bt = \exp(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x))$$ نستخدم \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\) عندما تكون \(x < (a+1)/(a+b+2)\)، وإلا فإن \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\). وأخيراً \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). أما القيمتان الطرفيتان \(I_0 = 0\) و\(I_1 = 1\) فتُعالَجان بدقة تامة لتفادي \(\log(0)\).
مثال محلول
لنأخذ a = 1، b = 3: تكون $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333333$$ وعند \(x = 0.5\) تعطي الصيغة المغلقة $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0.125}{3} = 0.291667$$ ومن ثَمّ $$I_x = \frac{0.291667}{0.333333} = 0.875$$ ويؤكد ذلك اختبار التماثل \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0.125 = 0.875\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين Bx وIx؟ إن \(B_x(a,b)\) هي قيمة التكامل الخام، بينما \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) هي القيمة المُطبَّعة التي تقع بين 0 و1.
لماذا يجب أن يكون a وb موجبين؟ لأن التكامل ودوال غاما لا تتقارب إلا عندما يكون \(a > 0\) و\(b > 0\).
ماذا يحدث إذا دفعت خطوة الزيادة قيمة x إلى ما بعد 1؟ تُقيَّد كل قيمة x عند 1، ويتوقف الجدول عند \(x = 1\)، حيث تكون \(B_x(a,b) = B(a,b)\) و\(I_x(a,b) = 1\).
