ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دالة بيتا الناقصة السفلية، وهي معرّفة بالتكامل المحدد \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt\). والمقدار داخل التكامل \(t^{a-1}(1-t)^{b-1}\) هو نواة توزيعَي بيتا وبيتا-ذات الحدين (beta-binomial). وعندما يكون الحد الأعلى \(x = 1\) (مع حد أدنى يساوي 0)، فإن الناتج يساوي دالة بيتا الكاملة \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\).
طريقة الاستخدام
أدخل معاملَي الشكل: a (المتغير a) وb، ويجب أن يكون كلاهما موجباً. حدّد الحد الأدنى لفترة التكامل والحد الأعلى x (عادةً بين 0 و1). اختر عدد التقسيمات n — أي عدد عُقد غاوس-لوجاندر. كلما زاد n ارتفعت الدقة؛ والقيمة \(n = 20\) كافية تماماً للدوال السلسة. اترك الفترة على [0, 1] للحصول على دالة بيتا الكاملة.
شرح المعادلة
يُحسب التكامل بطريقة تربيع غاوس-لوجاندر. تُولَّد العُقد القياسية \(x_i\) والأوزان \(w_i\) على الفترة [-1, 1] بوصفها جذور كثير الحدود لوجاندر \(P_n\) باستخدام طريقة نيوتن، ثم تُسقَط خطياً على الفترة المختارة \([c, d]\) وفق العلاقة:
$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}$$بعد ذلك يُقرَّب التكامل بالمقدار
$$\frac{d-c}{2}\cdot \sum w_i\, f(t_i)$$وبما أن طريقة غاوس-لوجاندر تكامل كثيرات الحدود من الدرجة \(2n-1\) فأقل بدقة تامة، فإنها تتقارب بسرعة فائقة مع الدوال السلسة.
مثال محلول
بأخذ \(a = 3\) و\(b = 5\) والفترة [0, 1] و\(n = 20\)، يكون الناتج هو دالة بيتا الكاملة
$$B(3,5) = \frac{2!\cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0.0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$وتعيد طريقة التربيع إنتاج هذه القيمة بدقة الفاصلة العائمة المزدوجة الكاملة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(0 < a < 1\) أو \(0 < b < 1\)؟ يحتوي التكامل عندئذٍ على نقطة شذوذ قابلة للتكامل عند أحد طرفَي الفترة. ولأن عُقد غاوس-لوجاندر داخلية، يبقى الناتج محدوداً لكن تنخفض الدقة — فارفع قيمة n.
كيف أحصل على دالة بيتا الناقصة المنتظَمة \(I_x(a,b)\)؟ اقسم هذا الناتج على دالة بيتا الكاملة (احسبها بضبط الفترة على [0, 1]).
لماذا يكون الناتج سالباً أحياناً؟ إذا كان الحد الأعلى أصغر من الحد الأدنى، يصبح التكامل المُشار بالإشارة سالباً، وهذا صحيح رياضياً.
