ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بتقييم كسر مستمر معمّم على الصورة \(f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}}\). والميزة المميزة هنا أن الحد الأول \(b_0\)، والبسط النوني \(a_n\)، والمقام النوني \(b_n\) تُدخَل بوصفها تعابير رياضية قد تعتمد على المتغير \(x\) وعلى دليل الحد المتزايد \(n\). تُعوّض الحاسبة قيمة \(x\) التي تُدخلها، وتُولّد الحدود من أجل \(n = 1, 2, 3, \ldots\)، ثم تُبلِّغ بالقيمة المتقاربة \(f(x)\) مع جدول يضم التقاربات الجزئية \(f_n(x)\). إنها أداة تحليل عددي خالصة تنطبق عالميًا — فلا قواعد إقليمية ولا وحدات قياس معنية بالأمر.
طريقة الاستخدام
أدخل ثلاثة تعابير وقيمة لـ \(x\). ويجوز لكل تعبير أن يستعمل الرمزين \(x\) و\(n\)، والمؤثرات \(+ - * / \hat{\ }\) (الأس)، والدوال sqrt وexp وln وlog وsin وcos وtan، إضافة إلى الثابتين pi وe. اختر عدد الأرقام المعنوية للتحكم في كيفية عرض الناتج (وهذا يغيّر فقط سماحية التقارب والعرض، لا الرياضيات الكامنة وراءها). يعرض صندوق النتيجة قيمة \(f(x)\) والدليل \(n\) الذي تحقق عنده التقارب، بينما يسرد الجدول التقاربات الأولى لتراقب كيف تستقر القيمة.
شرح الصيغة
تُنتَج التقاربات عبر العلاقة التكرارية الأساسية الأمامية. انطلاقًا من \(A_{-1} = 1\) و\(A_0 = b_0\) و\(B_{-1} = 0\) و\(B_0 = 1\)، يضع كل مستوى جديد $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$$ $$B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2}$$ ويكون التقارب النوني \(f_n = A_n / B_n\). ويتوقف التكرار حالما يتطابق تقاربان متتاليان حتى الدقة المطلوبة، أو بعد سقفٍ صارم قدره 1000 حد.
مثال محلول
استعمل القيم الافتراضية \(b_0 = 1\)، \(a_n = x - 1\)، \(b_n = 2\)، مع \(x = 5\). هذا هو الكسر المستمر الكلاسيكي للجذر \(\sqrt{x}\): $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}$$ فعند \(x = 5\) يساوي كل بسط 4 ويساوي كل مقام 2. والتقاربات الأولى هي \(f_1 = 3\)، \(f_2 = 2\)، \(f_3 = 2.3333\ldots\)، \(f_4 = 2.2\)، وكلها تتقارب نحو \(\sqrt{5} = 2.2360679774997896\). والنقطة الثابتة \(t = 2 + 4/t\) تحلّ لتعطي \(t = 1 + \sqrt{5}\)، ومنها \(f = 1 + \cfrac{4}{1+\sqrt{5}} = \sqrt{5}\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يعتمد \(a_n\) و\(b_n\) على الدليل \(n\)؟ نعم. فمثلًا الدالة \(x/(e^x - 1)\) تستعمل \(b_0 = 1 - x/2\)، و\(a_n = x^2/4\)، و\(b_n = 2n + 1\)، حيث ينمو \(b_n\) مع \(n\).
ماذا لو أصبح أحد المقامات صفرًا؟ تُعوّض الحاسبة قيمة إبسلون متناهية الصغر لمواصلة الحساب، محاكيةً طريقة لينتز المعدّلة؛ ويُنبَّه على عدم التقارب المستمر إن حدث.
لماذا تتوقف عند 1000 حد؟ هذا هو سقف الأمان. فإن لم يتقارب الكسر حتى ذلك الحد، يُعاد آخر تقارب محسوب مع تحذير.
