Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет обобщённую непрерывную дробь вида $$f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}}$$ Его главная особенность в том, что начальный член \(b_0\), n-й числитель \(a_n\) и n-й знаменатель \(b_n\) задаются как математические выражения, которые могут зависеть от переменной \(x\) и от текущего номера члена \(n\). Калькулятор подставляет ваше значение \(x\), генерирует члены для \(n = 1, 2, 3, \ldots\) и выдаёт предельное значение \(f(x)\) вместе с таблицей подходящих дробей \(f_n(x)\). Это чисто вычислительный инструмент из области численного анализа, и он применим повсеместно — здесь нет ни региональных правил, ни единиц измерения.
Как пользоваться
Введите три выражения и значение \(x\). В каждом выражении можно использовать символы \(x\) и \(n\), операторы + - * / ^ (возведение в степень), функции sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, а также константы pi и e. Выберите число значащих цифр, чтобы задать, как будет показан результат (это влияет только на точность сходимости и формат вывода, но не на саму математику). В блоке результата отображается \(f(x)\) и номер \(n\), на котором достигнута сходимость; в таблице приведены первые подходящие дроби, чтобы вы могли увидеть, как значение постепенно стабилизируется.
Разбор формулы
Подходящие дроби строятся по прямой фундаментальной рекуррентной формуле. Начиная с \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\), на каждом новом уровне вычисляется \(A_n = b_n \cdot A_{n-1} + a_n \cdot A_{n-2}\) и \(B_n = b_n \cdot B_{n-1} + a_n \cdot B_{n-2}\), а n-я подходящая дробь равна \(f_n = A_n / B_n\). Итерации прекращаются, как только две соседние подходящие дроби совпадают с запрошенной точностью, либо по достижении жёсткого предела в 1000 членов.
Разобранный пример
Возьмём значения по умолчанию: \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\) при \(x = 5\). Это классическая непрерывная дробь для \(\sqrt{x}\): $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}$$ При \(x = 5\) каждый числитель равен 4, а каждый знаменатель равен 2. Первые подходящие дроби: \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2{,}3333\ldots\), \(f_4 = 2{,}2\) — все они сходятся к \(\sqrt{5} = 2{,}2360679774997896\). Неподвижная точка \(t = 2 + 4/t\) даёт \(t = 1 + \sqrt{5}\), откуда \(f = 1 + 4/(1+\sqrt{5}) = \sqrt{5}\).
Частые вопросы
Могут ли \(a_n\) и \(b_n\) зависеть от номера \(n\)? Да. Например, функция \(x/(e^x - 1)\) задаётся как \(b_0 = 1 - x/2\), \(a_n = x^2/4\), \(b_n = 2n + 1\), где \(b_n\) растёт с увеличением \(n\).
Что будет, если знаменатель обратится в ноль? Вычислитель подставляет крошечное число эпсилон, чтобы продолжить расчёт — это аналог модифицированного метода Ленца; устойчивое отсутствие сходимости будет помечено предупреждением.
Почему расчёт останавливается на 1000 членах? Это предохранительный предел. Если к этому моменту дробь не сошлась, возвращается последняя подходящая дробь с предупреждением.
