Công cụ này dùng để làm gì
Công cụ này tính giá trị của một phân số liên tục tổng quát có dạng \( f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}} \). Điểm đặc biệt là số hạng đầu \(b_0\), tử số thứ n là \(a_n\) và mẫu số thứ n là \(b_n\) đều được nhập dưới dạng biểu thức toán học, có thể phụ thuộc vào biến x và vào chỉ số chạy n của từng số hạng. Công cụ sẽ thay giá trị x bạn nhập, sinh ra các số hạng cho n = 1, 2, 3, ..., rồi trả về giá trị hội tụ f(x) cùng một bảng các phân số hội tụ từng phần \(f_n(x)\). Đây thuần túy là một tiện ích giải tích số và áp dụng được ở mọi nơi — không liên quan đến quy định vùng miền hay đơn vị đo nào.
Cách sử dụng
Hãy nhập ba biểu thức và một giá trị của x. Mỗi biểu thức có thể dùng các ký hiệu x và n, các phép toán + - * / ^ (lũy thừa), và các hàm sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, cùng các hằng số pi và e. Chọn số chữ số có nghĩa để điều chỉnh cách hiển thị kết quả (điều này chỉ thay đổi ngưỡng sai số hội tụ và cách trình bày, không ảnh hưởng đến phép toán bên dưới). Ô kết quả cho biết f(x) và chỉ số n tại đó đạt được hội tụ; bảng liệt kê các phân số hội tụ đầu tiên để bạn quan sát giá trị dần ổn định.
Giải thích công thức
Các phân số hội tụ được tạo ra bằng công thức truy hồi cơ bản theo chiều thuận. Bắt đầu từ \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\), mỗi tầng mới được tính theo $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$$ và $$B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2},$$ và phân số hội tụ thứ n là \( f_n = \dfrac{A_n}{B_n} \). Quá trình lặp dừng lại khi hai phân số hội tụ liên tiếp khớp nhau đến độ chính xác yêu cầu, hoặc sau giới hạn cứng là 1000 số hạng.
Ví dụ minh họa
Dùng các giá trị mặc định \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\), với \(x = 5\). Đây chính là phân số liên tục cổ điển biểu diễn \(\sqrt{x}\): $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}.$$ Với \(x = 5\), mọi tử số đều bằng 4 và mọi mẫu số đều bằng 2. Các phân số hội tụ đầu tiên là \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2.3333\ldots\), \(f_4 = 2.2\), tất cả đều dần tiến về \(\sqrt{5} = 2.2360679774997896\). Điểm bất động \( t = 2 + \dfrac{4}{t} \) giải ra \( t = 1 + \sqrt{5} \), cho \( f = 1 + \dfrac{4}{1+\sqrt{5}} = \sqrt{5} \).
Câu hỏi thường gặp
\(a_n\) và \(b_n\) có thể phụ thuộc vào chỉ số n không? Có. Ví dụ, hàm \( \dfrac{x}{e^x - 1} \) dùng \(b_0 = 1 - \dfrac{x}{2}\), \(a_n = \dfrac{x^2}{4}\), \(b_n = 2n + 1\), trong đó \(b_n\) tăng dần theo n.
Nếu một mẫu số bằng 0 thì sao? Công cụ sẽ thay vào một epsilon rất nhỏ để tiếp tục tính, theo đúng tinh thần của phương pháp Lentz cải tiến; trường hợp không hội tụ kéo dài sẽ được cảnh báo.
Tại sao lại dừng ở 1000 số hạng? Đó là ngưỡng an toàn. Nếu phân số vẫn chưa hội tụ tới thời điểm đó, công cụ sẽ trả về phân số hội tụ cuối cùng kèm theo một cảnh báo.
