Máy Lập Bảng Hàm Hankel Cầu là gì?
Đây là công cụ toán học đa năng giúp lập bảng giá trị các hàm Hankel cầu loại một \(h_{v}^{(1)}(x)\) và loại hai \(h_{v}^{(2)}(x)\), cùng với đạo hàm bậc nhất của chúng, trên một chuỗi các đối số thực \(x\) với bậc nguyên \(v\) do bạn chọn. Vì các hàm này nhận giá trị phức nên mỗi dòng kết quả đều hiển thị phần thực, phần ảo và độ lớn (mô-đun).
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn hàm cần lập bảng (loại một, loại hai, hoặc đạo hàm của một trong hai loại). Tiếp theo, nhập bậc nguyên \(v\), giá trị \(x\) ban đầu, bước nhảy (khoảng tăng) giữa các giá trị \(x\) liên tiếp và số điểm cần tạo. Công cụ sẽ dựng một dòng cho mỗi \(k\) từ 0 đến \(N-1\) theo công thức \(x = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) rồi tính giá trị hàm đã chọn tại từng giá trị \(x\).
Giải thích công thức
Các hàm Bessel cầu có dạng đóng (công thức tường minh): \(j_{0}(x) = \sin(x)/x\), \(j_{1}(x) = \sin(x)/x^{2} - \cos(x)/x\), \(y_{0}(x) = -\cos(x)/x\), \(y_{1}(x) = -\cos(x)/x^{2} - \sin(x)/x\). Các bậc cao hơn được tính theo công thức truy hồi ba số hạng
$$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_{v} - f_{v-1}.$$Khi đó,
$$h_{v}^{(1)} = j_{v} + i\,y_{v} \qquad \text{và} \qquad h_{v}^{(2)} = j_{v} - i\,y_{v}$$(là liên hợp phức của nhau). Đạo hàm được tính bằng
$$f_{v}^{\prime}(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_{v}(x),$$với trường hợp đặc biệt \(f_{0}^{\prime} = -f_{1}\).
Ví dụ minh họa
Xét \(h_{v}^{(1)}(x)\) với \(v = 0\) và \(\text{initialX} = 2\): \(j_{0}(2) = \sin(2)/2 = 0.4546487\), \(y_{0}(2) = -\cos(2)/2 = 0.2080734\), do đó \(h_{0}^{(1)}(2) = 0.4546487 + 0.2080734\,i\) với độ lớn \(1/x = 0.5\). Đối với loại hai \(h_{0}^{(2)}(2)\), phần ảo đổi dấu thành \(-0.2080734\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không cho phép \(x = 0\)? Mọi công thức đều có phép chia cho \(x\), và \(y_{v}\) phân kỳ (tiến ra vô cực) khi \(x\) tiến về 0, nên các dòng đó được đánh dấu là điểm kỳ dị.
Vì sao \(|h_{0}^{(1)}(x)|\) lại bằng \(1/x\)? Bởi vì \(j_{0}^{2} + y_{0}^{2} = (\sin^{2} x + \cos^{2} x)/x^{2} = 1/x^{2}\).
Công cụ có hỗ trợ bậc không nguyên không? Phiên bản này sử dụng các công thức dạng đóng và truy hồi cho bậc nguyên chính xác; vì vậy bậc không nguyên hiện chưa được hỗ trợ.
