गोलीय हैंकेल फलन तालिका कैलकुलेटर क्या है?
यह एक सार्वभौमिक गणित उपकरण है जो किसी चुने हुए पूर्णांक क्रम \(v\) के लिए वास्तविक तर्कों \(x\) की एक श्रृंखला पर पहली किस्म के गोलीय हैंकेल फलन \(h_v^{(1)}(x)\) और दूसरी किस्म के \(h_v^{(2)}(x)\), साथ ही उनके प्रथम अवकलज की तालिका बनाता है। चूँकि ये फलन सम्मिश्र (complex) मान वाले होते हैं, इसलिए हर प्रविष्टि में वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और परिमाण (magnitude) तीनों दिखाए जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि किस फलन की तालिका बनानी है (पहली किस्म, दूसरी किस्म, या दोनों में से किसी का अवकलज)। फिर पूर्णांक क्रम \(v\), \(x\) का प्रारंभिक मान, क्रमागत \(x\) मानों के बीच की वृद्धि (step), और कुल कितने बिंदु बनाने हैं — ये सब निर्धारित करें। कैलकुलेटर \(k = 0\) से \(N-1\) तक हर मान के लिए एक पंक्ति बनाता है, जहाँ \(x = \text{initialX} + k \times \text{stepX}\) होता है, और हर \(x\) पर चुने गए फलन का मूल्यांकन करता है।
सूत्र की व्याख्या
गोलीय बेसेल फलनों के बंद रूप (closed forms) इस प्रकार हैं: \(j_0(x) = \sin(x)/x\), \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), \(y_0(x) = -\cos(x)/x\), \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\)। उच्च क्रम तीन-पद वाली पुनरावृत्ति (recurrence) से प्राप्त होते हैं:
$$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_v - f_{v-1}$$इसके बाद \(h_v^{(1)} = j_v + i\,y_v\) और \(h_v^{(2)} = j_v - i\,y_v\) (इसका सम्मिश्र संयुग्मी)। अवकलज के लिए \(f_v'(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_v(x)\), तथा \(f_0' = -f_1\)।
हल किया हुआ उदाहरण
\(v = 0\) और \(\text{initialX} = 2\) के लिए \(h_v^{(1)}(x)\) पर विचार करें: \(j_0(2) = \sin(2)/2 = 0.4546487\), \(y_0(2) = -\cos(2)/2 = 0.2080734\), अतः \(h_0^{(1)}(2) = 0.4546487 + 0.2080734\,i\), जिसका परिमाण \(1/x = 0.5\) है। दूसरी किस्म \(h_0^{(2)}(2)\) के लिए काल्पनिक भाग का चिह्न बदलकर \(-0.2080734\) हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x = 0\) की अनुमति क्यों नहीं है? हर सूत्र में \(x\) से भाग दिया जाता है, और जैसे-जैसे \(x\) शून्य की ओर बढ़ता है \(y_v\) अपसरित (diverge) हो जाता है, इसलिए ऐसी पंक्तियों को विचित्र (singular) के रूप में चिह्नित किया जाता है।
\(|h_0^{(1)}(x)|\) बराबर \(1/x\) क्यों होता है? क्योंकि \(j_0^2 + y_0^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)/x^2 = 1/x^2\)।
क्या यह अपूर्णांक (non-integer) क्रमों का समर्थन करता है? यह संस्करण केवल सटीक पूर्णांक-क्रम बंद रूपों और पुनरावृत्तियों का उपयोग करता है; अपूर्णांक क्रम समर्थित नहीं हैं।
