यह कैलकुलेटर क्या करता है
त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई डालिए और तुरंत पाइए उसके तीनों आंतरिक कोण — डेसिमल डिग्री में भी और डिग्री-मिनट-सेकंड (D° M′ S″) में भी — साथ ही क्षेत्रफल और सबसे लंबी भुजा पर डाली गई ऊँचाई। यह शुद्ध ज्यामिति है, इसलिए यह किसी भी एक-समान लंबाई इकाई (सेमी, मीटर, इंच या बिना इकाई के मान) के साथ काम करता है; कोण इकाई-रहित होते हैं और क्षेत्रफल आपकी इनपुट इकाई के वर्ग में आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजा a, भुजा b और भुजा c के मान टाइप कीजिए। तीनों भुजाओं को त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का पालन करना ज़रूरी है: हर भुजा धनात्मक हो और बाकी दोनों भुजाओं के योग से सख्ती से कम हो। अगर ऐसा नहीं है, तो कोई त्रिभुज नहीं बनता और कैलकुलेटर आपको यह बता देगा। कोण A हमेशा भुजा a के सामने वाला कोण होता है, कोण B भुजा b के सामने, और कोण C भुजा c के सामने।
सूत्र की व्याख्या
कोण कोसाइन नियम (Law of Cosines) से निकलते हैं। भुजा a के सामने वाले कोण A के लिए: \(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\), फिर \(A = \arccos(\dots)\)। यही पैटर्न B और C देता है।
$$ A = \cos^{-1}\!\left( \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2\,b\,c} \right), \quad B = \cos^{-1}\!\left( \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2\,a\,c} \right), \quad C = 180^{\circ} - A - B $$चूँकि राउंडिंग कभी-कभी कोसाइन के मान को \(\pm 1\) से थोड़ा बाहर धकेल सकती है, इसलिए उसे पहले वैध सीमा में बाँध (clamp कर) दिया जाता है, जिससे अधिक कोण (obtuse angles) सही रहते हैं। क्षेत्रफल के लिए हीरोन सूत्र का उपयोग होता है जिसमें अर्ध-परिमाप \(s = \frac{a+b+c}{2}\) है, और \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)। बताई गई ऊँचाई सबसे लंबी भुजा पर डाला गया लंब है, \(h = \frac{2S}{\text{सबसे लंबी भुजा}}\)। हर डेसिमल कोण को इस तरह बाँटा जाता है: \(D = \lfloor \deg \rfloor\), \(M = \lfloor (\deg - D) \times 60 \rfloor\), और \(S = \) बची हुई सेकंड, जो दो दशमलव अंकों तक दिखाई जाती हैं।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 3\): तो \(s = 4.5\) और $$ S = \sqrt{4.5 \times 0.5 \times 2.5 \times 1.5} \approx 2.90474 $$ सबसे लंबी भुजा \(a = 4\) है, इसलिए \(h = \frac{2S}{4} \approx 1.45237\)। $$ \cos A = \frac{4 + 9 - 16}{12} = -0.25 $$ जिससे \(A \approx 104.4775^{\circ}\) (104° 28′ 39.05″)। इसी तरह \(B \approx 28.9550^{\circ}\) और \(C \approx 46.5675^{\circ}\), जिनका योग ठीक \(180^{\circ}\) होता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
क्या यह अधिक कोण (obtuse) वाले त्रिभुज संभाल सकता है? हाँ। जब किसी भुजा का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग से बड़ा होता है, तब कोसाइन नियम स्वाभाविक रूप से 90° से बड़े कोण देता है।
मेरे कोण 180° में क्यों जुड़ते हैं? हर यूक्लिडीय त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है; इसे पक्का करने के लिए कैलकुलेटर कोण C को \(180 - A - B\) के रूप में निकालता है।
परिणाम किन इकाइयों में आते हैं? कोण डिग्री में होते हैं, ऊँचाई आपकी भुजाओं वाली इकाई में, और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में।
