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輸入計算

數學公式

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結果

角 A(a 邊的對角)
104.477512°
104° 28′ 39.04″
角 B(b 邊的對角) 28.955024°   28° 57′ 18.09″
角 C(c 邊的對角) 46.567463°   46° 34′ 2.87″
高 h(對最長邊) 1.452369
面積 S 2.904738

這個計算機能做什麼

輸入三角形的三邊長,馬上就能得到三個內角——同時以十進位度數與度分秒(D° M′ S″)兩種格式呈現——並一併算出面積以及畫在最長邊上的高。這是純粹的幾何運算,因此只要單位一致,任何長度單位都適用(公分、公尺、英吋,甚至是不帶單位的數值);角度本身沒有單位,而面積則以你輸入單位的平方為準。

頂點為 A、B、C、對邊為 a、b、c 的三角形,以弧線標出各內角。
標準記法:每個角都與同字母的邊相對。

使用方法

分別輸入 a 邊、b 邊、c 邊的長度。三邊必須符合「三角形不等式」:每一邊都要是正數,而且嚴格小於另外兩邊之和。若不符合,這樣的三角形並不存在,計算機會直接提示你。角 A 永遠是 a 邊的對角,角 B 是 b 邊的對角,角 C 則是 c 邊的對角。

公式說明

角度是由餘弦定理求得。以 a 邊的對角 A 為例:

$$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$$

再取 \(A = \cos^{-1}(\dots)\)。角 B 與角 C 也依照相同模式計算。由於四捨五入可能讓餘弦值略微超出 \(\pm 1\),程式會先把它限制在合法範圍內,這樣即使是鈍角也能正確算出。面積採用海龍公式,先求半周長 \(s = \frac{a+b+c}{2}\),再得 \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)。所顯示的高是落在最長邊上的高,\(h = \frac{2S}{\text{最長邊}}\)。每個十進位角度會拆成 \(D = \lfloor \text{度數} \rfloor\)、\(M = \lfloor (\text{度數} - D)\times 60 \rfloor\),以及 S 為剩餘的秒數,顯示到小數點後兩位。

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突顯角 A 及夾角的兩條邊 b、c 的三角形,用於餘弦定理。
利用餘弦定理可由三條邊求出角 A。

實際範例

假設 \(a = 4\)、\(b = 2\)、\(c = 3\):\(s = 4.5\),

$$S = \sqrt{4.5\times 0.5\times 2.5\times 1.5} \approx 2.90474$$

最長邊是 \(a = 4\),所以 \(h = \frac{2S}{4} \approx 1.45237\)。

$$\cos A = \frac{4+9-16}{12} = -0.25$$

得 \(A \approx 104.4775^{\circ}\)(104° 28′ 39.05″)。同理 \(B \approx 28.9550^{\circ}\)、\(C \approx 46.5675^{\circ}\),三者相加正好等於 \(180^{\circ}\)。

常見問題

可以處理鈍角三角形嗎?可以。只要某一邊的平方大於另外兩邊平方之和,餘弦定理自然就會算出大於 \(90^{\circ}\) 的角度。

為什麼我的三個角加起來是 180°?任何歐氏幾何中的三角形,三個內角和必定是 \(180^{\circ}\);計算機是以 \(C = 180 - A - B\) 來推算角 C,藉此確保結果剛好相加為 \(180^{\circ}\)。

計算結果的單位是什麼?角度以度為單位,高與你輸入的邊長同單位,面積則是該單位的平方。

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