什麼是高斯-勒讓德求積法？
高斯-勒讓德求積法（Gauss-Legendre quadrature）是一種估算定積分的數值方法。它不像傳統做法那樣把區間切成許多等寬的小條，而是只在少數幾個經過精心挑選的位置（稱為節點）計算被積函數的值，再搭配經過調校的權重加總起來。回報相當驚人：n 點的高斯-勒讓德公式可以精確積分任何不超過 2n − 1 次的多項式；對於平滑函數而言，它所需的計算次數遠少於梯形法或辛普森法，卻能得到極佳的精度。
如何使用本計算機
請以 x 的運算式輸入被積函數（例如 4/(1+x^2)、sin(x)*exp(-x) 或 sqrt(1-x^2)）。設定積分下限 a 與上限 b，接著從 2 到 64 之間選擇節點數 n。對於平滑的被積函數，n 越大，精度越高。支援的運算子有 + - * / ^；支援的函數包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、log/ln、log10、sqrt 與 abs，另外還有常數 pi 與 e。
公式說明
經典公式定義在區間 [-1, 1] 上：積分以 f 在勒讓德多項式根 \(x_i\) 處的加權總和來近似。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$若要處理一般區間 [a, b]，可利用線性變數變換，把 \(t \in [-1, 1]\) 映射為 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\)，其中 \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\)。本計算機會即時以牛頓法搭配勒讓德多項式遞迴關係求出節點，因此完全不需要查表。
實例演算
以 \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\) 在 [0, 1] 上為例，其精確積分值即為 pi。當 \(n = 2\) 時，節點為 \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)，權重皆為 1。將其映射到 [0, 1] 並代入計算，可得 \(f(0.2113) = 3.8290\) 與 \(f(0.7887) = 2.4661\)；總和乘上縮放係數 0.5 後約為 3.1476——僅僅兩次計算就已相當接近 pi。當 \(n = 20\) 時，結果可與 pi 吻合到約 3.14159265359。
常見問題
如果 a = b 會怎樣？此時區間寬度為零，因此積分結果恰為 0。
b 可以小於 a 嗎？可以。計算機會回傳帶正負號的結果，符合「交換上下限會使積分變號」的慣例。
為什麼結果看起來不對？高斯-勒讓德法假設被積函數在每個節點上都是有限值。區間內部若存在奇異點（例如除以零，或對負數取對數），可能會產生無意義的數值；當某個節點算出 NaN 或無限大時，計算機會提出警告。請注意，端點 a 與 b 本身永遠不會被代入計算，這對處理較輕微的端點行為很有幫助。
