這個計算器能做什麼
本工具可計算古典高斯求積（Gaussian quadrature）法則的節點（橫座標 \(x_i\)）與權重 \(w_i\)。有了這些數值，你就能把帶權積分近似成有限的加權求和；對於標準高斯法則而言，最高可對 \(2n-1\) 次多項式做到精確積分。本工具支援的法則包括：Gauss-Legendre、第一類與第二類 Chebyshev、廣義 Laguerre、Hermite、Jacobi 以及 Gauss-Lobatto。
使用方式
先在「種類」中選擇所需的法則，接著設定階數 \(n\)（節點個數，範圍 2 到 100）；若使用 Laguerre 或 Jacobi，還需輸入指數參數 Alpha 與 Beta（兩者皆須大於 -1）。計算結果會列出每個節點與其對應權重，並顯示權重總和。理論上，權重總和應等於權函數的 0 階矩（Legendre 為 2，Hermite 則為根號 \(\pi\)）。
公式說明
對於具有三項遞迴關係的一族正交多項式，節點即為 \(n\) 次多項式的根，而權重則來自對稱三對角 Jacobi 矩陣 \(J\) 的特徵向量（即 Golub-Welsch 方法）：\(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\)。其中 Chebyshev 法則採用精確的三角函數封閉形式；Legendre 與 Lobatto 對 Legendre 多項式使用牛頓迭代求根；而 Laguerre、Hermite 與 Jacobi 則使用 Jacobi 矩陣特徵值求解。
實例演算
以 \(n = 2\) 的 Gauss-Legendre 為例：節點為正負 \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692\)，兩個權重皆為 1，因此權重總和為 2。驗證一下：\(x^2\) 在 \([-1, 1]\) 上的積分為 \(\frac{2}{3}\)，而此法則計算得 $$1\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 完全吻合。
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
常見問題
為什麼權重應該是正的？對於古典高斯法則，所有權重都嚴格為正；若出現負權重，通常代表發生了數值誤差。
權重總和代表什麼意義？它等於權函數在區間上的積分（即 0 階矩）。以 Hermite 為例，\(e^{-x^2}\) 在整條實數線上的積分為 \(\sqrt{\pi}\)。
為什麼 Alpha 與 Beta 必須大於 -1？否則權函數將不可積、各階矩會發散，也就無法構成有效的求積法則。
