ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة العُقد (الإحداثيات \(x_i\)) والأوزان \(w_i\) لقواعد التكامل العددي الغاوسي الكلاسيكية. باستخدامها يمكنك تقريب التكامل الموزون على هيئة مجموع موزون منتهٍ، بحيث تُكامِل كثيرات الحدود حتى الدرجة \(2n-1\) بدقة تامة في قواعد غاوس القياسية. القواعد المدعومة هي: غاوس-ليجاندر، تشيبيشيف من النوعين الأول والثاني، لاجير المعمّمة، هيرميت، جاكوبي، وغاوس-لوباتو.
كيفية الاستخدام
اختر القاعدة من قائمة «الأنواع»، ثم حدّد الرتبة \(n\) (عدد العُقد، من 2 إلى 100)، وفي حالة لاجير أو جاكوبي أدخِل معاملات الأُسّ ألفا وبيتا (يجب أن يكون كلٌّ منهما أكبر من -1). تعرض النتيجة كل عُقدة مع وزنها، إضافةً إلى مجموع الأوزان الذي يجب أن يساوي العزم الصفري لدالة الوزن (في حالة ليجاندر يساوي 2، وفي حالة هيرميت يساوي الجذر التربيعي للعدد باي).
شرح الصيغة
بالنسبة لعائلة من كثيرات الحدود المتعامدة ذات علاقة تكرارية ثلاثية الحدود، تكون العُقد هي جذور كثيرة الحدود من الدرجة \(n\)، بينما تُشتق الأوزان من المتجهات الذاتية لمصفوفة جاكوبي \(J\) ثلاثية الأقطار المتماثلة (طريقة جولوب-فيلش):
$$w_i = \mu_0 \left(v_{1,i}\right)^2$$تستخدم قواعد تشيبيشيف صيغًا مثلثية مغلقة ودقيقة، بينما تعتمد ليجاندر ولوباتو على تكرار نيوتن على كثيرة حدود ليجاندر، أما لاجير وهيرميت وجاكوبي فتستخدم حلّال القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي.
مثال محلول
غاوس-ليجاندر مع \(n = 2\): العُقد هي زائد وناقص \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692\)، وكلا الوزنين يساوي 1، إذن مجموع الأوزان هو 2. للتحقق: تكامل \(x^2\) على الفترة \([-1, 1]\) يساوي \(\frac{2}{3}\)، والقاعدة تعطي
$$1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون الأوزان موجبة؟ في قواعد غاوس الكلاسيكية تكون جميع الأوزان موجبة تمامًا؛ وظهور وزن سالب يدل على وجود خطأ عددي.
ماذا يعني مجموع الأوزان؟ يساوي تكامل دالة الوزن على الفترة (العزم الصفري). في حالة هيرميت، تكامل \(e^{-x^2}\) على المستقيم بأكمله يساوي \(\sqrt{\pi}\).
لماذا يجب أن تتجاوز ألفا وبيتا القيمة -1؟ لأن دالة الوزن لا تكون قابلة للتكامل خلاف ذلك وتتباعد العزوم، فلا توجد قاعدة صالحة.
