ما هي طريقة تربيع جاوس-هيرميت؟
تربيع جاوس-هيرميت هو أسلوب للتكامل العددي يُستخدم لحساب التكاملات الممتدة على خط الأعداد الحقيقية بأكمله، من سالب اللانهاية إلى موجب اللانهاية. ترتكز هذه الطريقة على دالة الوزن الجاوسية \(e^{-x^{2}}\)، وهي دقيقة تمامًا لأي كثيرة حدود من الدرجة \(2n-1\) أو أقل (بعد إزالة دالة الوزن). ولأن المسألة رياضية بحتة، فإن القاعدة واحدة في كل البلدان وفي جميع أنظمة الوحدات. وتُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والإحصاء (لحساب القيم المتوقعة وفق التوزيع الطبيعي) والهندسة.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا صيغة الدالة المُكامَلة. حدّد g(x) إذا كنت تُدخل الدالة الكاملة التي تريد مكاملتها على الفترة (-∞، ∞)، أو حدّد f(x) إذا كنت قد فصلت بالفعل دالة الوزن \(e^{-x^{2}}\). اكتب التعبير بدلالة المتغير x (يمكنك استخدام exp وlog وsqrt وsin وcos وtan وsinh وcosh وabs وpi وe ورمز الأس ^ والعوامل الحسابية المعتادة). وأخيرًا حدّد عدد العقد \(n\)؛ فكلما زاد عدد العقد ارتفعت الدقة مع الدوال الناعمة القريبة من الشكل الجاوسي، والقيم بين 8 و30 هي الأكثر شيوعًا.
شرح الصيغة
تقوم الطريقة بحساب قيمة الدالة المُكامَلة عند جذورها \(n\) وهي النقاط \(x_i\) لكثيرة حدود هيرميت بصيغة الفيزيائيين \(H_n(x)\)، ثم تجمعها مرجّحةً بالأوزان $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}.$$ في نمط f يكون التقدير هو مجموع $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i).$$ أما في نمط g فيُعاد قسمة الوزن باستخدام الوزن المُعدَّل \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\)، فيصبح الناتج مجموع $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i).$$ وتُحسب العقد والأوزان هنا بخوارزمية جولوب-ولش (Golub-Welsch) المستقرة عدديًا، التي تجدها بوصفها القيم والمتجهات الذاتية لمصفوفة ياكوبي الثلاثية القُطرية المتماثلة.
مثال محلول
لنأخذ نمط f مع \(f(x) = 1\) و \(n = 2\). تكون العقدتان عند \(x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\) وبوزنين متساويين \(w = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\). ومجموعهما هو $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509,$$ وهو يساوي \(\sqrt{\pi}\) تمامًا، أي القيمة الحقيقية لتكامل \(e^{-x^{2}}\) على خط الأعداد الحقيقية. وبالمثل، في نمط g مع \(g(x) = \exp(-x^{2})\) و \(n = 2\)، تستعيد الأوزان المُعدَّلة النتيجة نفسها \(1.7724538509\).
الأسئلة الشائعة
متى يكون التقارب بطيئًا؟ عندما يصعب تقريب الدالة المُكامَلة بحاصل ضرب \(e^{-x^{2}}\) في كثيرة حدود، مثل الدوال ذات التناقص متعدد الحدود البطيء، أو ذات الذيول الثقيلة، أو التي بها نقاط شاذة على المحور الحقيقي. في هذه الحالات زِد قيمة \(n\) أو استخدم طريقة مختلفة.
ما وظيفة العامل \(e^{x_i^{2}}\) في نمط g؟ يُلغي دالة الوزن الجاوسية المدمجة كي تتمكن من إدخال الدالة الكاملة. وعند العقد الطرفية قد تصبح قيمته كبيرة، لذا يجب أن تتناقص \(g(x)\) بسرعة لا تقل عن سرعة تناقص \(e^{-x^{2}}\) للحصول على نتائج جيدة.
هل القاعدة دقيقة مع كثيرات الحدود؟ نعم، ففي نمط f تُكامِل أي كثيرة حدود من الدرجة \(2n-1\) أو أقل تمامًا.
