¿Qué es la cuadratura de Gauss-Hermite?
La cuadratura de Gauss-Hermite es un método de integración numérica pensado para integrales sobre toda la recta real, desde menos infinito hasta más infinito. Se construye en torno a la función de peso gaussiana \(e^{-x^{2}}\) y resulta exacta para cualquier polinomio de grado hasta \(2n-1\) (una vez retirado el peso). Al tratarse de matemáticas puras, la regla es idéntica en cualquier país y sistema de unidades. Se emplea de forma habitual en física, estadística (para calcular esperanzas bajo una distribución normal) e ingeniería.
Cómo usar esta calculadora
Elige la forma del integrando. Selecciona g(x) si vas a introducir la función completa que quieres integrar sobre (-inf, inf); elige f(x) si ya has extraído el peso \(e^{-x^{2}}\). Escribe la expresión en la variable x (puedes usar exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^ y los operadores habituales). Por último, fija el número de nodos \(n\). Cuantos más nodos, mayor precisión para integrandos suaves y con forma gaussiana; lo normal es trabajar con valores entre 8 y 30.
La fórmula explicada
El método evalúa el integrando en las \(n\) raíces \(x_i\) del polinomio de Hermite (versión de los físicos) \(H_n(x)\) y las combina con los pesos $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}.$$ En el modo f, la estimación es la suma de \(w_i\, f(x_i)\): $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ En el modo g, el peso se vuelve a dividir empleando el peso modificado \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\), de modo que el resultado es la suma de \(w_i\, e^{x_i^{2}}\, g(x_i)\): $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ Los nodos y pesos se obtienen aquí mediante el algoritmo de Golub-Welsch, numéricamente estable, que los calcula como los autovalores y autovectores de una matriz de Jacobi tridiagonal y simétrica.
Ejemplo resuelto
Tomemos el modo f con \(f(x) = 1\) y \(n = 2\). Los dos nodos son \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) con pesos iguales \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0{,}8862269255\). La suma da $$0{,}8862269255 + 0{,}8862269255 = 1{,}7724538509,$$ que coincide exactamente con \(\sqrt{\pi}\), el valor real de la integral de \(e^{-x^{2}}\) sobre la recta real. De forma equivalente, en el modo g con \(g(x) = \exp(-x^{2})\) y \(n = 2\), los pesos modificados recuperan el mismo resultado: \(1{,}7724538509\).
Preguntas frecuentes
¿Cuándo converge lentamente? Cuando el integrando no se aproxima bien mediante \(e^{-x^{2}}\) por un polinomio; por ejemplo, funciones con decaimiento polinómico lento, colas pesadas o singularidades sobre el eje real. En esos casos, aumenta \(n\) o recurre a otro método.
¿Qué hace el factor \(e^{x_i^{2}}\) en el modo g? Cancela el peso gaussiano incorporado para que puedas introducir el integrando completo. En los nodos más externos puede crecer mucho, así que \(g(x)\) debería decaer al menos tan rápido como \(e^{-x^{2}}\) para obtener buenos resultados.
¿Es exacta la regla para polinomios? Sí: en el modo f integra de forma exacta cualquier polinomio de grado hasta \(2n-1\).
