¿Qué es la cuadratura de Gauss-Laguerre?
La cuadratura de Gauss-Laguerre es un método numérico para aproximar integrales impropias sobre el intervalo semiinfinito (0, infinito) cuyo integrando decae de forma exponencial. Sustituye la integral por una suma ponderada evaluada en puntos muestrales cuidadosamente seleccionados, llamados nodos. Para un orden \(n\) dado, la regla es exacta para cualquier polinomio de grado hasta \(2n-1\) (frente a la función peso \(x^{\alpha} e^{-x}\)), lo que la hace asombrosamente precisa para integrandos suaves usando solo un puñado de evaluaciones.
Cómo usar esta calculadora
Primero elige el modo de entrada. Selecciona f(x) si tu integral ya tiene la forma integral de \(x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx\) y solo quieres escribir el factor \(f\). Selecciona g(x) si dispones de un integrando completo \(g(x)\) sobre (0, infinito); en ese caso, la herramienta divide automáticamente entre la función peso incorporada. Introduce la función en la variable \(x\) con la notación habitual (+, -, *, /, ^, sqrt, exp, ln, sin, cos, tan, etc.), define el número de nodos \(n\) y fija el parámetro de peso \(\alpha\) (usa 0 para la cuadratura de Gauss-Laguerre ordinaria). Aumentar \(n\) mejora la precisión en funciones suaves.
La fórmula explicada
Los nodos \(x_i\) son las raíces del polinomio de Laguerre generalizado \(L_n^{(\alpha)}(x)\), y los pesos \(w_i\) se obtienen mediante el algoritmo de Golub-Welsch: los valores propios de una matriz de Jacobi tridiagonal simétrica proporcionan los nodos, mientras que \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) por el cuadrado de la primera componente de cada vector propio normalizado. La integral se aproxima entonces con la suma ponderada mostrada arriba.
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\alpha = 0\), \(n = 2\), modo f(x), \(f(x) = x^2\) (así estimamos la integral de \(x^2 e^{-x}\, dx\), cuyo valor exacto es \(\Gamma(3) = 2\)). Los dos nodos son \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0{,}585786\) con \(w_1 = 0{,}853553\), y \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3{,}414214\) con \(w_2 = 0{,}146447\). La suma es $$0{,}853553 \times 0{,}343146 + 0{,}146447 \times 11{,}656854 = 0{,}292893 + 1{,}707107 = 2{,}000000,$$ coincidiendo exactamente con el resultado exacto porque \(x^2\) es un polinomio de grado \(2 \le 2n-1 = 3\).
Preguntas frecuentes
¿Qué hace el parámetro alfa? Fija el exponente de la función peso \(x^{\alpha} e^{-x}\). Usa \(\alpha = 0\) para la Gauss-Laguerre estándar. Los valores deben cumplir \(\alpha > -1\) para que el peso siga siendo integrable.
¿Por qué mi resultado es impreciso? O bien el integrando no es suave, o bien no decae con suficiente rapidez en (0, infinito). La regla siempre devuelve un número finito, pero solo tiene sentido cuando la integral verdadera converge y el integrando se aproxima bien mediante polinomios multiplicados por la función peso. Aumenta \(n\) para comprobar la convergencia.
¿Cuál es la diferencia entre los modos f y g? En el modo f solo introduces el factor que multiplica al peso incorporado; en el modo g introduces el integrando completo y el peso se elimina dentro de la suma. Ambos dan el mismo resultado cuando se configuran de forma coherente.
