Qué hace esta calculadora
Esta herramienta aproxima una integral definida mediante la cuadratura de Gauss-Chebyshev de primera especie, la regla gaussiana asociada a la función de peso de Chebyshev \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) en el intervalo \([-1, 1]\). Su gran ventaja es que los nodos y los pesos tienen una forma cerrada muy sencilla, así que no hace falta ninguna tabla: los nodos son cosenos de ángulos igualmente espaciados y todos los pesos valen \(\pi/n\).
Cómo utilizarla
Elige el tipo de integrando. En el modo predeterminado g(x) en [a,b], introduce cualquier función \(g(x)\) en notación habitual, un límite inferior \(a\), un límite superior \(b\) y el número de puntos de división \(n\). La calculadora transforma \([-1, 1]\) en \([a, b]\) y multiplica por \(\sqrt{1 - x_i^2}\) para cancelar el peso implícito de Chebyshev, de modo que obtienes una estimación de la integral ordinaria. En el modo f(x) en [-1,1], la función se interpreta como el integrando de la integral ponderada y los límites quedan fijados en \([-1, 1]\). La sintaxis admitida incluye + - * / ^, paréntesis y las funciones sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, además de las constantes \(\pi\) y \(e\). Las funciones trigonométricas trabajan en radianes.
La fórmula explicada
Con \(\text{paso} = \pi/(2n)\) y \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{paso}\), el nodo es \(x_i = \cos(\theta_i)\) y \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\). Para una integral ordinaria, la regla es:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$donde
$$\left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right.$$La integral ponderada en \([-1,1]\) es simplemente \(\frac{\pi}{n}\) por la suma de \(f\) evaluada en los nodos.
Ejemplo resuelto
Integremos \(g(x) = x^2\) de 0 a 1 con \(n = 3\). Los tres nodos dan los términos \(0{,}4352563\), \(0{,}25\) y \(0{,}0022436\), que suman \(0{,}6874999\). Al multiplicar por \((b-a)/2 = 0{,}5\) y por \(\pi/3 = 1{,}0471976\) obtenemos aproximadamente \(0{,}359957\). El valor exacto es \(1/3\); al elevar \(n\) hasta 10 se obtiene alrededor de \(0{,}33408\), que converge hacia \(0{,}3333\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi resultado polinómico no coincide exactamente? Eliminar el peso de Chebyshev mediante el factor \(\sqrt{\cdot}\) hace que la convergencia sea más lenta que con Gauss-Legendre. Aumenta \(n\) para funciones suaves.
¿Puede ser a igual a b? Sí; el factor \((b-a)/2\) hace que el resultado sea 0. Si \(a\) es mayor que \(b\), el signo cambia automáticamente.
¿Qué pasa si la función diverge en los límites? Los nodos se sitúan estrictamente dentro del intervalo, por lo que normalmente se evitan las singularidades en los extremos; sin embargo, un valor indefinido en cualquier nodo produce un resultado no finito.
