यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी निश्चित समाकल (definite integral) का अनुमान प्रथम प्रकार के गॉस-चेबीशेव क्वाड्रेचर से लगाता है। यह वह गॉसीय नियम है जो अंतराल [-1, 1] पर चेबीशेव भार-फलन \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) से जुड़ा होता है। इसकी सबसे बड़ी खूबी यह है कि इसके नोड और भार (weights) एक सरल बंद सूत्र में मिल जाते हैं, इसलिए किसी संदर्भ-तालिका की ज़रूरत नहीं पड़ती: नोड समान दूरी पर रखे कोणों के कोसाइन होते हैं और हर भार का मान \(\pi/n\) के बराबर रहता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले समाकलित फलन (integrand) का प्रकार चुनें। डिफ़ॉल्ट g(x), [a,b] पर मोड में कोई भी सामान्य फलन g(x), निचली सीमा a, ऊपरी सीमा b और विभाजन बिंदुओं की संख्या n दर्ज करें। कैलकुलेटर [-1, 1] को [a, b] पर मैप करता है और अंतर्निहित चेबीशेव भार को रद्द करने के लिए \(\sqrt{1 - x_i^2}\) से गुणा करता है, जिससे साधारण समाकल का अनुमान मिल जाता है। f(x), [-1,1] पर मोड में फलन को भारित समाकल का integrand माना जाता है और सीमाएँ [-1, 1] पर निश्चित रहती हैं। समर्थित सिंटैक्स में + - * / ^, कोष्ठक, तथा sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs के साथ-साथ स्थिरांक pi और e शामिल हैं। त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं।
सूत्र की व्याख्या
यहाँ \(\text{step} = \pi/(2n)\) और \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\) लेने पर नोड \(x_i = \cos(\theta_i)\) होता है और \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\) होता है। साधारण समाकल के लिए नियम यह है:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$\((b-a)/2\) गुणा \(\pi/n\) गुणा \(\sin(\theta_i)\) गुणा मैप किए गए बिंदु पर g के मानों का योग। भारित [-1,1] समाकल केवल नोडों पर f के मानों के योग का \((\pi/n)\) गुना होता है।
$$\begin{gathered} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(g(x) = x^2\) को 0 से 1 तक \(n = 3\) के साथ समाकलित करें। तीनों नोड \(0.4352563\), \(0.25\) और \(0.0022436\) पद देते हैं, जिनका योग \(0.6874999\) है। इसे \((b-a)/2 = 0.5\) और \(\pi/3 = 1.0471976\) से गुणा करने पर लगभग \(0.359957\) मिलता है। वास्तविक मान \(1/3\) है; n को बढ़ाकर 10 करने पर लगभग \(0.33408\) मिलता है, जो \(0.3333\) की ओर अभिसरित होता जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरे बहुपद (polynomial) का परिणाम बिल्कुल मेल क्यों नहीं खाता? sqrt गुणनखंड के ज़रिए चेबीशेव भार को हटाने से अभिसरण गॉस-लेजेंड्र की तुलना में धीमा हो जाता है। चिकने (smooth) फलनों के लिए n बढ़ाएँ।
क्या a और b बराबर हो सकते हैं? हाँ; \((b-a)/2\) गुणनखंड के कारण परिणाम 0 आ जाता है। यदि a, b से बड़ा हो तो चिह्न अपने-आप बदल जाता है।
अगर फलन सीमाओं पर अनंत हो जाए तो? नोड हमेशा अंतराल के पूरी तरह भीतर होते हैं, इसलिए छोरों (endpoints) की विचित्रताएँ (singularities) आम तौर पर टल जाती हैं, लेकिन किसी भी नोड पर अपरिभाषित मान आने पर परिणाम अपरिमित (non-finite) हो जाता है।
