केल्विन प्रथम प्रकार के फलन क्या हैं?
केल्विन प्रथम प्रकार के फलन, जिन्हें berv(x) और beiv(x) लिखा जाता है, दरअसल बेसल फलन Jv के क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक भाग होते हैं, जब उसे एक फेज़-घुमे हुए तर्क पर निकाला जाता है: \(\mathrm{ber}_v(x) + i\cdot\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\cdot e^{i3\pi/4})\)। ये फलन बेलनाकार सममिति और दोलनशील क्षेत्रों वाली समस्याओं में सामने आते हैं — खासकर विद्युत चालकों में स्किन इफेक्ट (त्वचा प्रभाव) के विश्लेषण में, तथा ऊष्मा-चालन और प्रत्यास्थता (elasticity) की समस्याओं में। यह कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक कोटि \(v\) और वास्तविक तर्क \(x\) के लिए \(\mathrm{ber}_v(x)\), \(\mathrm{bei}_v(x)\) तथा उनके प्रथम अवकलज \(\mathrm{ber}'_v(x)\) और \(\mathrm{bei}'_v(x)\) लौटाता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले कोटि v भरें (कोई भी वास्तविक संख्या; सबसे आम मान \(v = 0\) है) और फिर तर्क x भरें (कोई वास्तविक संख्या)। इसके बाद गणना करें बटन दबाएँ। मुख्य बॉक्स में \(\mathrm{ber}_v(x)\) दिखेगा, और तालिका में \(\mathrm{bei}_v(x)\) के साथ दोनों अवकलज सूचीबद्ध रहेंगे। यह श्रेणी (series) लगभग \(x = 20\) तक तेज़ी से अभिसरित होती है; बहुत बड़े \(x\) के लिए संख्याओं की रद्दीकरण (cancellation) के कारण सटीकता घट जाती है, और तब अनंतस्पर्शी (asymptotic) विस्तार बेहतर रहता है।
सूत्र की व्याख्या
ये फलन ऊपर दर्शाई गई अभिसारी सम्मिश्र घात-श्रेणी (complex power series) से निकाले जाते हैं, जहाँ \(\Gamma\) गामा फलन है (यहाँ इसे Lanczos सन्निकटन से निकाला गया है):
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$पदों को इस पुनरावृत्ति (recurrence) से जोड़ा जाता है: \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]\), जिसमें वास्तविक और काल्पनिक भागों के लिए दो अलग वास्तविक संचयक (accumulators) इस्तेमाल होते हैं। अवकलज इस सटीक संबंध से निकलते हैं: \(\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v\) और \(\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v\), इसलिए अगली कोटि के फलनों को भी इसी परिभाषा से निकाला जाता है।
हल किया गया उदाहरण (v = 0, x = 1)
\(v = 0\) के लिए श्रेणियाँ सरल होकर इस रूप में आ जाती हैं: \(\mathrm{ber}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k}/[(2k)!]^2\) और \(\mathrm{bei}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2\)। \(x = 1\) पर इससे \(\mathrm{ber}_0(1) \approx 0.984382\) और \(\mathrm{bei}_0(1) \approx 0.249566\) मिलता है, जो मानक तालिकाओं (Abramowitz & Stegun 9.9) से पूरी तरह मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
x का वैध परास (range) क्या है? श्रेणी आधारित यह क्रियान्वयन लगभग \(0 \le x \le 20\) के लिए विश्वसनीय है। इससे आगे फ्लोटिंग-पॉइंट रद्दीकरण सटीकता को घटा देता है।
x = 0 पर क्या होता है? \(v = 0\) के लिए \(\mathrm{ber}_0(0) = 1\) और \(\mathrm{bei}_0(0) = 0\) होता है, और दोनों अवकलज \(0\) रहते हैं। \(v > 0\) के लिए फलन \(0\) की ओर जाते हैं; जबकि \(v < 0\) के लिए ये अपसरित (diverge) हो सकते हैं।
क्या मैं गैर-पूर्णांक कोटि का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। कोई भी वास्तविक \(v\) मान्य है, बशर्ते \(v+1\) कोई ऋणात्मक पूर्णांक न हो (जो गामा फलन का ध्रुव/pole बन जाता है)।
