Hàm Kelvin loại một là gì?
Hàm Kelvin loại một, ký hiệu là berv(x) và beiv(x), chính là phần thực và phần ảo của hàm Bessel Jv khi tính tại đối số đã được quay pha: \(\mathrm{ber}_{v}(x) + i\cdot\mathrm{bei}_{v}(x) = J_{v}(x\cdot e^{i3\pi/4})\). Chúng xuất hiện trong các bài toán có đối xứng trụ và trường dao động — kinh điển nhất là khi phân tích hiệu ứng bề mặt (skin effect) trong dây dẫn điện, cũng như trong các bài toán dẫn nhiệt và lý thuyết đàn hồi. Công cụ này trả về berv(x), beiv(x) cùng đạo hàm bậc nhất ber'v(x) và bei'v(x) cho mọi bậc thực v và đối số thực x.
Cách dùng máy tính
Nhập bậc v (một số thực bất kỳ; v = 0 là trường hợp phổ biến nhất) và đối số x (một số thực). Nhấn tính toán. Ô kết quả nổi bật sẽ hiển thị berv(x), còn bảng bên dưới liệt kê beiv(x) cùng cả hai đạo hàm. Chuỗi hội tụ nhanh khi x nằm trong khoảng tới chừng 20; với x rất lớn, hiện tượng triệt tiêu số học làm giảm độ chính xác và lúc này nên dùng khai triển tiệm cận.
Giải thích công thức
Các hàm được tính từ chuỗi lũy thừa phức hội tụ nêu ở trên,
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$trong đó Γ là hàm gamma (ở đây tính bằng xấp xỉ Lanczos). Các số hạng được cộng dồn theo công thức truy hồi \(\text{term}_{k} = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^{2}/4) / [k(v+k)]\), dùng hai biến tích lũy thực cho phần thực và phần ảo. Đạo hàm được suy ra từ hệ thức chính xác \(\mathrm{ber}'_{v} = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_{v}\) và \(\mathrm{bei}'_{v} = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_{v}\), do đó các hàm bậc kế tiếp cũng được tính theo cùng định nghĩa.
Ví dụ minh họa (v = 0, x = 1)
Với v = 0, chuỗi rút gọn thành \(\mathrm{ber}_{0}(x) = \sum(-1)^{k}(x/2)^{4k}/[(2k)!]^{2}\) và \(\mathrm{bei}_{0}(x) = \sum(-1)^{k}(x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^{2}\). Tại \(x = 1\) ta được \(\mathrm{ber}_{0}(1) \approx 0{,}984382\) và \(\mathrm{bei}_{0}(1) \approx 0{,}249566\), trùng khớp với các bảng tra chuẩn (Abramowitz & Stegun 9.9).
Câu hỏi thường gặp
Khoảng giá trị hợp lệ của x là bao nhiêu? Cách tính bằng chuỗi đáng tin cậy trong khoảng chừng \(0 \le x \le 20\). Vượt ngoài khoảng này, sự triệt tiêu của số dấu phẩy động sẽ làm giảm độ chính xác.
Điều gì xảy ra khi x = 0? Với v = 0, \(\mathrm{ber}_{0}(0) = 1\) và \(\mathrm{bei}_{0}(0) = 0\), cả hai đạo hàm đều bằng 0. Với \(v > 0\) các hàm tiến về 0; còn với \(v < 0\) chúng có thể phân kỳ.
Có thể dùng bậc không nguyên không? Được. Mọi giá trị thực của v đều được hỗ trợ, miễn là v+1 không phải số nguyên âm (điểm cực của hàm gamma).
