ما هي دوال كلفن من النوع الأول؟
دالتا كلفن من النوع الأول، اللتان تُكتبان berv(x) وbeiv(x)، هما الجزآن الحقيقي والتخيلي لدالة بِسِل Jv عند وسيط مُدوَّر الطور: \(\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\,e^{i3\pi/4})\). تظهر هاتان الدالتان في المسائل ذات التماثل الأسطواني والحقول المتذبذبة، وعلى نحو كلاسيكي في تحليل ظاهرة القشرة (skin effect) في الموصِّلات الكهربائية، وفي مسائل التوصيل الحراري والمرونة. تُرجِع هذه الحاسبة قيم berv(x) وbeiv(x) ومشتقاتيهما الأوليين ber'v(x) وbei'v(x) لأي رتبة حقيقية v ووسيط حقيقي x.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الرتبة v (أي عدد حقيقي؛ والقيمة v = 0 هي الأكثر شيوعًا) ثم الوسيط x (عدد حقيقي). اضغط على زر الحساب. يعرض الصندوق الرئيسي قيمة berv(x)، فيما يسرد الجدول قيمة beiv(x) والمشتقتين معًا. تتقارب المتسلسلة بسرعة عند قيم x حتى نحو 20 تقريبًا؛ أما عند القيم الكبيرة جدًّا لـ x فإن الإلغاء العددي يُضعِف الدقة، ويصبح التوسّع المقارِب (asymptotic) خيارًا أفضل.
شرح الصيغة
تُحسَب الدالتان من المتسلسلة الأُسّية العقدية المتقاربة المبيّنة أعلاه:
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$حيث ترمز Γ إلى دالة غاما (التي تُقدَّر هنا بتقريب لانكزوس). تُجمَع الحدود باستخدام العلاقة التكرارية \(\text{الحد}_k = \text{الحد}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]\)، مع استخدام مُراكِمَين حقيقيين للجزأين الحقيقي والتخيلي. وتعتمد المشتقتان على العلاقة الدقيقة \(\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v\) و\(\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v\)، ولذلك تُحسَب دوال الرتبة التالية أيضًا وفق التعريف نفسه.
مثال محلول (v = 0، x = 1)
عندما يكون v = 0 تتبسَّط المتسلسلتان إلى
$$\mathrm{ber}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k}/[(2k)!]^2$$$$\mathrm{bei}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2$$وعند x = 1 يُعطي ذلك \(\mathrm{ber}_0(1) \approx 0.984382\) و\(\mathrm{bei}_0(1) \approx 0.249566\)، وهي قيم مطابقة للجداول المرجعية القياسية (Abramowitz & Stegun 9.9).
الأسئلة الشائعة
ما هو المجال الصالح للوسيط x؟ يكون تنفيذ المتسلسلة موثوقًا في المجال \(0 \le x \le 20\) تقريبًا. وفيما وراء ذلك يؤدي الإلغاء في حساب الفاصلة العائمة إلى تدهور الدقة.
ماذا يحدث عند x = 0؟ عندما يكون v = 0 تكون \(\mathrm{ber}_0(0) = 1\) و\(\mathrm{bei}_0(0) = 0\)، مع كون المشتقتين تساويان صفرًا. وعند \(v > 0\) تؤول الدالتان إلى الصفر؛ أما عند \(v < 0\) فقد تتباعدان (تتجهان إلى ما لا نهاية).
هل يمكنني استخدام رتبة غير صحيحة؟ نعم. تُدعَم أي قيمة حقيقية لـ v ما دام v+1 ليس عددًا صحيحًا سالبًا (وهو قطب من أقطاب دالة غاما).
