제1종 켈빈 함수란?
제1종 켈빈 함수는 berv(x)와 beiv(x)로 표기하며, 위상이 회전된 인수에서 평가한 베셀 함수 Jv의 실수부와 허수부에 해당합니다. 즉 \(\mathrm{ber}_\nu(x) + i\,\mathrm{bei}_\nu(x) = J_\nu(x\cdot e^{i3\pi/4})\)로 정의됩니다. 이 함수들은 원통 대칭과 진동하는 장(場)을 다루는 문제에서 등장하며, 대표적으로 전기 도체에서 나타나는 표피 효과(skin effect) 해석, 그리고 열전도와 탄성 문제에서 활용됩니다. 이 계산기는 임의의 실수 차수 \(\nu\)와 실수 인수 \(x\)에 대해 \(\mathrm{ber}_\nu(x)\), \(\mathrm{bei}_\nu(x)\)와 그 1차 도함수 \(\mathrm{ber}'_\nu(x)\), \(\mathrm{bei}'_\nu(x)\)를 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
차수 \(\nu\)(임의의 실수, \(\nu = 0\)이 가장 흔하게 쓰임)와 인수 \(x\)(실수)를 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 상단 결과 상자에는 \(\mathrm{ber}_\nu(x)\)가 표시되고, 표에는 \(\mathrm{bei}_\nu(x)\)와 두 도함수가 함께 나열됩니다. 급수는 \(x\)가 약 20 정도까지는 빠르게 수렴합니다. \(x\)가 아주 큰 경우에는 항들이 서로 상쇄되면서 정확도가 떨어지므로, 이때는 점근 전개(asymptotic expansion)를 사용하는 편이 더 적합합니다.
공식 설명
이 함수들은 위에서 보인 수렴하는 복소 멱급수로부터 계산됩니다.
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$
여기서 \(\Gamma\)는 감마 함수이며, 이 계산기에서는 란초스(Lanczos) 근사로 평가합니다. 각 항은 점화식 \(\mathrm{term}_k = \mathrm{term}_{k-1}\cdot(i x^{2}/4) / [k(\nu+k)]\)를 이용해 누적하며, 실수부와 허수부를 위한 두 개의 실수 누산기를 사용합니다. 도함수는 정확한 관계식 \(\mathrm{ber}'_\nu = (\mathrm{ber}_{\nu+1}+\mathrm{bei}_{\nu+1})/\sqrt{2} + (\nu/x)\mathrm{ber}_\nu\)와 \(\mathrm{bei}'_\nu = (\mathrm{bei}_{\nu+1}-\mathrm{ber}_{\nu+1})/\sqrt{2} + (\nu/x)\mathrm{bei}_\nu\)로 구하며, 한 차수 높은 함수들 역시 동일한 정의로 평가합니다.
계산 예제 (\(\nu = 0\), \(x = 1\))
\(\nu = 0\)일 때 급수는 $$\mathrm{ber}_{0}(x) = \sum (-1)^{k}(x/2)^{4k}/[(2k)!]^{2}$$ 와 $$\mathrm{bei}_{0}(x) = \sum (-1)^{k}(x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^{2}$$ 형태로 단순해집니다. \(x = 1\)을 대입하면 \(\mathrm{ber}_{0}(1) \approx 0.984382\), \(\mathrm{bei}_{0}(1) \approx 0.249566\)을 얻으며, 이는 표준 수치표(Abramowitz & Stegun 9.9)와 일치합니다.
자주 묻는 질문
\(x\)의 유효 범위는 어떻게 되나요? 이 급수 구현은 대략 \(0 \le x \le 20\) 범위에서 신뢰할 수 있습니다. 그 이상에서는 부동소수점 상쇄로 인해 정확도가 떨어집니다.
\(x = 0\)일 때는 어떻게 되나요? \(\nu = 0\)일 때 \(\mathrm{ber}_{0}(0) = 1\), \(\mathrm{bei}_{0}(0) = 0\)이며 두 도함수 모두 0입니다. \(\nu > 0\)이면 함수값이 0으로 수렴하고, \(\nu < 0\)이면 발산할 수 있습니다.
정수가 아닌 차수도 사용할 수 있나요? 네, 가능합니다. \(\nu+1\)이 음의 정수(감마 함수의 극점)가 아닌 한, 임의의 실수 \(\nu\)를 지원합니다.
