제1종 완전 타원적분이란?
K(k)로 표기하는 제1종 완전 타원적분은 \(0\)부터 \(\pi/2\)까지 \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\)를 적분해 정의되는 고전적인 특수 함수입니다. 진폭이 큰 진자의 정확한 주기, 노이만(Neumann) 공식을 통한 동축 코일의 상호 인덕턴스, 곡선의 호 길이, 타원형 균열 주변의 응력장 등을 다룰 때 어김없이 등장합니다. 이 계산기는 주어진 타원 계수 \(k\)에 대해 K(k)의 실수값을 돌려줍니다.
규약: 매개변수 m이 아니라 계수 k
널리 쓰이는 규약은 두 가지입니다. 이 도구는 계수(modulus) \(k\)를 직접 입력받으므로, 매개변수는 \(m = k^{2}\)가 됩니다. 즉 이 사이트의 K(k)는 MATLAB에서 \(m = k^{2}\)를 넣은 ellipke(m)과 같은 값입니다. 예를 들어 MATLAB의 ellipke(0.5)는 여기서 \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\)을 입력한 것에 해당합니다. 다른 자료의 수치와 비교하기 전에는 어떤 규약을 쓰는지 반드시 확인하세요.
사용 방법
\(-1 \le k \le 1\) 범위 안에서 타원 계수 \(k\)를 입력하면 K(k) 값을 확인할 수 있습니다. K는 \(k\)에 대한 우함수이므로 부호는 결과에 영향을 주지 않으며(\(K(-k) = K(k)\)), 도구 내부에서 절댓값으로 처리합니다. 이 함수는 \(|k| < 1\)에서 유한하고, \(|k|\)가 1에 가까워질수록 로그 형태로 발산합니다.
공식과 계산 방법
여기서는 산술기하평균(AGM)을 사용합니다:
$$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\,\sin^{2}\theta}} = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$
\(a = 1\)과 \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\)(보계수, complementary modulus)에서 시작해, 두 값이 일치할 때까지 산술평균과 기하평균으로 거듭 갱신합니다. AGM은 이차 수렴하므로 열두 번 남짓의 반복만으로 배정밀도 전체 자릿수를 얻습니다.
계산 예시
\(k = 0.1\)일 때: \(m = 0.01\)이고, 보계수는 \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\)입니다. \(1\)과 \(0.994987\)의 AGM은 약 \(0.9974921\)로 수렴합니다. 따라서 $$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
K(0)은 얼마인가요? 피적분 함수가 1로 단순해지므로 정확히 \(\pi/2 \approx 1.5707963\)입니다.
왜 k = 1에서 발산하나요? 보계수가 0이 되어 \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\)이 되고, K(k)는 로그 특이점을 가지므로 \(K \rightarrow +\infty\)로 발산합니다.
|k| > 1을 입력할 수 있나요? 불가능합니다. \(-1 \le k \le 1\)을 벗어나면 실수 적분이 정의되지 않으며, 역계수 변환(reciprocal-modulus transformation)이 필요합니다. 그래서 도구는 이러한 입력을 받지 않습니다.
