절댓값 방정식이란?
절댓값 방정식은 \(|ax + b| = c\) 형태로 표현되며, 절댓값 기호 안의 식이 0에서 c만큼 떨어진 거리를 나타냅니다. 절댓값은 '거리'를 의미하기 때문에 기호 안의 값은 양수일 수도 음수일 수도 있으며, 바로 이 때문에 절댓값 방정식은 보통 두 개의 해를 가집니다. 이 계산기는 \(|ax + b| = c\) 형태로 쓰인 모든 방정식을 변수 \(x\)에 대해 풀어줍니다.
계산기 사용 방법
방정식에서 \(a\), \(b\), \(c\) 세 개의 숫자를 입력하세요. 예를 들어 \(|2x - 3| = 5\)에서는 \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\)가 됩니다. 계산 버튼을 누르면 \(x\)의 두 값을 모두 보여주며, \(c = 0\)일 때는 하나의 값을, \(c\)가 음수일 때는 "해 없음" 메시지를 표시합니다.
공식 풀이
절댓값을 없애기 위해 방정식을 두 가지 경우로 나눕니다: \(ax + b = c\)와 \(ax + b = -c\)입니다. 각각을 \(x\)에 대해 풀면 다음을 얻습니다.
$$|ax+b| = c \implies x = \frac{c-b}{a} \;\text{ 또는 }\; x = \frac{-c-b}{a}$$만약 \(c < 0\)이면 절댓값은 절대 음수가 될 수 없으므로 해가 존재하지 않습니다. \(c = 0\)이면 두 경우가 하나로 합쳐져 단 하나의 해만 남습니다. 단, 계수 \(a\)는 0이 될 수 없습니다. 0이라면 풀어야 할 변수 자체가 사라지기 때문입니다.
예제 풀이
\(|2x - 3| = 5\)를 풀어봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\)입니다. 첫 번째 해:
$$x = \frac{5 - (-3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$두 번째 해:
$$x = \frac{-5 - (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$따라서 \(x = 4\) 또는 \(x = -1\)입니다. 검산해 보면: \(|2(4) - 3| = |5| = 5\) ✓, \(|2(-1) - 3| = |-5| = 5\) ✓로 모두 성립합니다.
자주 묻는 질문
절댓값 방정식의 해가 두 개인 이유는 무엇인가요? 양수와 음수가 같은 절댓값을 가질 수 있기 때문에, 기호 안의 식이 \(+c\)일 수도 \(-c\)일 수도 있습니다.
해가 없는 경우는 언제인가요? \(c\)가 음수일 때입니다. 절댓값은 항상 0 이상이므로 음수와 같아질 수 없습니다.
c가 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(|ax + b| = 0\)이 되어 \(ax + b = 0\)이 성립하므로, \(x = -b/a\)라는 단 하나의 해를 가집니다.
