복소수 절댓값(모듈러스) 계산기

계산 입력

실수부 (a)

허수부 (b)

결과

크기(절댓값·모듈러스) |a + bi|

5

for 3 + 4i

편각 (라디안)	0.9273 rad
편각 (도)	53.1301°

복소수의 절댓값이란?

복소수 a + bi의 절댓값(모듈러스 또는 크기라고도 합니다)은 복소평면에서 원점으로부터의 거리를 뜻합니다. 기호로는 \(|a + bi|\)로 나타내며, 언제나 0 이상의 실수입니다. 실수부 a와 허수부 b가 직각삼각형의 두 변을 이루기 때문에, 절댓값은 곧 빗변의 길이가 되며 피타고라스 정리로 바로 구할 수 있습니다.

절댓값은 복소평면에서 원점부터 점 a + bi까지의 거리입니다.

계산기 사용 방법

복소수의 실수부 a와 허수부 b를 입력하세요. 계산기는 절댓값과 함께 편각(복소수가 이루는 각도)을 라디안과 도(°) 두 가지 단위로 알려줍니다. 두 값 모두 음수를 입력해도 됩니다.

공식 풀이

절댓값은 다음과 같이 계산합니다:

$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

각 성분을 제곱하면 부호가 사라지므로, 결과는 실수부와 허수부의 크기에만 좌우됩니다. 편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)로 구하며, 이 함수는 네 사분면 모두에서 정확한 각도를 돌려줍니다.

이 공식은 피타고라스 정리에서 나옵니다. 절댓값은 변이 a와 b인 직각삼각형의 빗변입니다.

예제로 풀어보기

복소수 3 + 4i를 예로 들어봅시다. \(a^{2} = 9\), \(b^{2} = 16\)이므로 \(a^{2} + b^{2} = 25\)입니다. 25의 제곱근은 5이므로 \(|3 + 4i| = 5\)가 됩니다. 편각은 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ rad} \approx 53.13^{\circ}\)입니다.

자주 묻는 질문

절댓값이 음수가 될 수도 있나요? 아니요. 제곱의 합에 대한 제곱근이므로 절댓값은 항상 0이거나 양수입니다.

a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 그 복소수는 0이며, 절댓값도 0입니다. 편각은 정의되지 않지만 관례적으로 0으로 표시합니다.

왜 '절댓값'이라고 부르나요? 실수의 절댓값을 일반화한 개념이기 때문입니다. 실수의 경우(b = 0)에는 \(|a + 0i| = |a|\)가 되어, 우리가 익히 아는 '0으로부터의 거리'와 똑같아집니다.