Что такое модуль комплексного числа?
Модуль (его также называют абсолютной величиной) комплексного числа a + bi — это расстояние от точки, изображающей это число, до начала координат на комплексной плоскости. Обозначается он как \(|a + bi|\) и всегда является неотрицательным действительным числом. Поскольку действительная часть a и мнимая часть b служат катетами прямоугольного треугольника, модуль играет роль гипотенузы — и находится напрямую по теореме Пифагора.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть a и мнимую часть b вашего комплексного числа. Калькулятор покажет модуль, а вместе с ним и аргумент (угол поворота числа) — сразу в радианах и в градусах. Любая из частей может быть отрицательной.
Разбор формулы
Модуль вычисляется так:
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$Возведение каждой части в квадрат убирает знак, поэтому результат зависит только от величины действительной и мнимой частей. Аргумент находят по формуле \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) — она даёт правильный угол во всех четырёх четвертях.
Пример с решением
Возьмём комплексное число 3 + 4i. Тогда \(a^{2} = 9\), \(b^{2} = 16\), а значит \(a^{2} + b^{2} = 25\). Квадратный корень из 25 равен 5, поэтому $$|3 + 4i| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ Аргумент равен \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) рад \(\approx 53{,}13^{\circ}\).
Частые вопросы
Может ли модуль быть отрицательным? Нет. Это квадратный корень из суммы квадратов, поэтому модуль всегда равен нулю или положителен.
Что если a и b оба равны нулю? Тогда комплексное число равно 0, и его модуль тоже равен 0. Аргумент в этом случае не определён, но по соглашению принимается равным 0.
Почему его называют абсолютной величиной? Потому что это обобщение модуля действительного числа: при \(b = 0\) получаем \(|a + 0i| = |a|\) — то самое привычное расстояние от нуля.
