Qu'est-ce que la valeur absolue d'un nombre complexe ?
La valeur absolue (que l'on appelle aussi le module ou la norme) d'un nombre complexe a + bi correspond à sa distance par rapport à l'origine dans le plan complexe. On la note \(|a + bi|\) et il s'agit toujours d'un nombre réel positif ou nul. Comme la partie réelle a et la partie imaginaire b forment les deux côtés d'un triangle rectangle, le module en est l'hypoténuse — que l'on obtient directement grâce au théorème de Pythagore.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe. Le calculateur renvoie le module ainsi que l'argument (l'angle du nombre), exprimé à la fois en radians et en degrés. Les valeurs négatives sont acceptées pour chacune des deux parties.
La formule expliquée
Le module se calcule ainsi :
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
Élever chaque composante au carré fait disparaître son signe : le résultat ne dépend donc que de la grandeur des parties réelle et imaginaire. L'argument, quant à lui, s'obtient avec \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), qui donne l'angle correct dans les quatre quadrants.
Exemple détaillé
Prenons le nombre complexe 3 + 4i. On a alors \(a^{2} = 9\) et \(b^{2} = 16\), soit \(a^{2} + b^{2} = 25\). La racine carrée de 25 vaut 5, donc \(|3 + 4i| = 5\). L'argument est \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) rad \(\approx 53{,}13^{\circ}\).
Questions fréquentes
Le module peut-il être négatif ? Non. Comme il s'agit de la racine carrée d'une somme de carrés, le module est toujours nul ou positif.
Que se passe-t-il si a et b valent tous deux zéro ? Le nombre complexe est alors égal à 0 et son module vaut 0. L'argument n'est pas défini, mais on lui attribue conventionnellement la valeur 0.
Pourquoi parle-t-on de « valeur absolue » ? Cette notion généralise la valeur absolue des nombres réels : pour un nombre réel (\(b = 0\)), \(|a + 0i| = |a|\), c'est-à-dire la distance habituelle par rapport à zéro.
